Matek kombinatorika feladat?!

Szerintem pongyolán írtad le a feladatot, de a 6!-nál jóval több megoldás van.

Abból, hogy a szomszédos házak nem lehetnek egyforma színűek, azt a következtetést vonom le, hogy lehet több egyforma színű is.

Az első házat a 8 szín bármelyikére festhetjük. A másodikat erre az egyre nem, de a többi 7 közül bármelyikre. A harmadikat arra nem, amire a másodikat festettük, de a többi 7-re igen... és így tovább, míg az 5. házat be nem festettük.

Eddig 8*7*7*7*7 féle lehet a festés.

Itt kezdődik a bajság, mert a 6. háznál nem csak az 5. házra, hanem az elsőre is figyelni kell, azzal sem lehet egyszínű.

Az esetek egynyolcadában az első és az ötödik ház ugyanolyan, ekkor a 6. ház 7 színt kaphat.

Az esetek hétnyolcad részében különbözőek, tehát a 6. ház csak a maradék 6 szín közül lesz lefestve.

Így összesen (1/8)*8*7*7*7*7*7 + (7/8)*8*7*7*7*7*6= (7*7*7*7*7)+6(7*7*7*7*7)=7(7*7*7*7*7), azaz 7 a hatodikon.

Csak azért zárójeleztem, hogy érthetőbb legyen.

Nem valamilyen versenyfeladat ez most???

6!-nál jóval több van, de 7⁶-nál kevesebb. Nem az esetek egynyolcadában azonos az ötödik színe az elsőével, hanem az egyhetedében, de a negyedik színe is bezavar (hisz az is lehet olyan színű, mint az első), tehát a heted sem igaz. Szóval jó bonyolult a helyzet, próbáljuk inkább máshogy megoldani.

Nézzük minden MÁSODIK házat, ezek nem szomszédosak. Ezek színe egymáshoz képest ilyen lehet:

x x x

x x y

x y x

x y z

(a két x azonos színű)

Ennyiféleképpen színezhetjük ezeket az x,y,z-ket:

x x x : 8 féle lehet az x

x x y : 8·7 féle lehet az x-y

x y x : 8·7 féle ez is

x y z : 8·7·6 féle

Két ház közötti házat ennyi színre festhetünk:

x7x vagyis ha a szomszédai azonosak, akkor 7-félére

x6y vagyis ha szomszédai különbözőek, akkor 6-félére

A fenti minden második ház melletti szomszédok tehát ennyifélék lehetnek:

x 7 x 7 x 7

x 7 x 6 y 6

x 6 y 6 x 7

x 6 y 6 z 6

Az összes lehetőség pedig:

x 7 x 7 x 7 esetén: 8·7·1·7·1·7 (az 1-ek azért, mert ott ugyanaz az x kell álljon, mint az első)

x 7 x 6 y 6 esetén: 8·7·1·6·7·6

x 6 y 6 x 7 esetén: 8·6·7·6·1·7

x 6 y 6 z 6 esetén: 8·6·7·6·6·6

Ez összesen olyan 100-ezer körül van (számold ki), 14-ezerrel kevesebb, mint 7⁶.

... Valamit elrontottam.

Azon kezdtem gondolkodni, hogy ha 1/8 helyett 1/7 körül van az azonos szomszéd valószínűsége, akkor nem kevesebb, hanem több, int 7⁶ eset kellene legyen. Miért jött ki kevesebb nekem?

Aztán rájöttem, hogy kihagytam a minden második háznál ezt a színezést:

x y y

A kijavítást rád bízom.

Így már kicsivel több jön ki, mint 7⁶. Pontosan 7-tel több, ami érdekesen hangzik, nem tűnik véletlennek, de most már késő van ahhoz, hogy gondolkodjak az okán. Valószínű van egy egyszerűbb megoldás is...