Nehezebb matek feladatokban segítene valaki?

A 4. feladatnak egy másik megoldása:

Vegyük mindkét oldal logaritmusát:

(x²+x-6)·log(x-4) > log 1 = 0

Ezt azért tehettük meg, mert x>4, tehát x-4 > 0, valamint mert a logaritmus monoton növő függvény.

x²+x-6 = (x+3)(x-2) [ ez kideríthető mondjuk a másodfokú megoldóképlettel, ha nem ugrik be kapásból]

Ha x > 4, ez mindig pozitív (sőt, x>2 esetén is, de az most nem számít). Vagyis a logaritmusos szorzat akkor pozitív, ha log(x-4) > 0. Vagyis x-4 > 1, x>5.

Az 1. példa:

log_2(1) + log_2(2) + ... + log_2(n) = log_2(1·2·3·...·n) = log_2 n!

Ugyanígy a többi is, ezért a kifejezés így is írható:

1/log_2(n!) + 1/log_3(n!) + ... + 1/log_n(n!)

Tudjuk, hogy log_k(x) = ln(x)/ln(k). (Ez az ln-en kívül más alapú logaritmusokra is ugyanígy igaz. Ha jobban tetszik, írhatsz mondjuk lg(x)/lg(k)-t is.)

Ezt behelyettesítve ezt kapjuk:

ln(2)/ln(n!) + ln(3)/ln(n!) + ... + ln(n)/ln(n!)

A nevező közös, a számlálóknál meg megint szorzat lesz:

= ln(2·3·...·n) / ln(n!)

ami persze 1.

2.)

A számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenség szerint:

(x+y)/2 ≥ √(xy)

Mivel a logaritmus monoton növő függvény, ezért

log[(b+c)/2] ≥ log[√(bc)] = (log b + log c)/2

Most is érdemes a log_a(x) = ln(x)/ln(a) összefüggést használni, azzal ilyesmi lesz:

log_a[(b+c)/2] ≥ (ln b + ln c)/(2 ln a)

Hasonlóan a másik kettőre is.

Az eredeti egyenlőtlenség bal oldalába ha ezt behelyettesítjük, akkor annál kisebb-egyenlő értéket kapunk. Ha erre is be tudjuk látni, hogy még mindig ≥ 3, akkor az eredeti még inkább igaz.

Ha az egyszerűbb írás miatt bevezetjük az A=ln a, B=ln b, C=ln c elnevezéseket, akkor ezt kell bizonyítani:

(B+C)/(2A) + (A+C)/(2B) + (A+B)/(2C) ≥ 3

(B+C)/A + (A+C)/B + (A+B)/C ≥ 6

Megint érdemes bevezetni más változókat:

x = B/A

y = C/A

z = C/B

(x + y) + (1/x + z) + (1/y + 1/z) ≥ 6

Átrendezve:

x + 1/x + y + 1/y + z + 1/z ≥ 6

Ez már nem nagy probléma, hisz az "köztudott", hogy  x + 1/x  ≥ 2

Ha nem lenne ismert, akkor megint a számtani és mértani közép egyenlőtlenségéből gyorsan kijön:

(x+1/x)/2 ≥ √(x·1/x) = 1

Kész.

3.

Tudjuk, hogy derékszögű háromszögben

a² + b² = c²

a² = c²-b² = (c+b)(c-b)

Vegyük a logaritmusát:

2·ln a = ln(c+b) + ln(c-b)

Amit be kellene látni, az a különböző logaritmusokat mind átírva ln-re (log_x(y) = ln y / ln x) így néz ki:

ln a / ln(b+c) + ln a / ln(c-b) = 2·ln a / ln(b+c) · ln a / ln(c-b)

Közös nevezőre hozva:

[ ln a · ln(c-b) + ln a · ln(b+c) ] / [ln(b+c)·ln(c-b)] = 2·ln²a/[ln(b+c)·ln(c-b)]

A nevező ugyanaz a két oldalon, tehát csak a számláló számít:

ln a · ln(c-b) + ln a · ln(b+c) = 2·ln²a

Ha ezt osztjuk ln a-val, pont a legfent levezetett egyenlőséget kapjuk, tehát kész az igazolás.