Adott a síkon 2013 db általános helyzetű pont. Bizonyítsuk be, hogy létezik olyan kör, amelyik pontosan 8 pontot tartalmaz. Hogy csináljam?

Általános helyzetű pontok: bármelyik 3-at kiválasztva a három pont nem esik ugyanarra az egyenesre (háromszöget alkotnak).

Ez a feladat valahol sántít, mivel pl. vegyünk egy kört, és azon válasszunk ki 2013 pontot. Ekkor ez a 2013 pont egy körön fekszik, és mivel tudjuk, hogy két kör lehetséges metszéspontjainak száma: 0;1;2;végtelen, ezért biztosan nem lesz olyan kör, amelyik pontosan 8 pontot tartalmazna.

De lehet, hogy én értettem félre valamit a feladatban...

Háááát azt még nem tudom hogy érek a végére, de mindenesetre én úgy kezdeném hogy lemérném a pontok távolságát és után kell hogy legyen egy pontpár aminek minimális a távolsága... ha nincs ilyen, ha sok is az egyenlő minimális távolság abból max hét fér el egy körben mégpediglen úgy hogy egyik a pont a kör közepe meg a hatvan fokos központi szögekhez tartozó hat a köríven.

Szóval van az A-B pontpár aminek minimális a távolsága, most vegyük a C pontot ami ezekhez legközelebb esik, az A-B-C háromszögön belül nem lehet másik pont, ez csak világos, már csak az a kérdés hogy az A-B-C körön belül lehet-e, hát itt el kell kicsit gondolkozni, szerintem nem lehet. Most megint megkeressük azt a D-t amire (A,D),(B,D),(C,D) minimális és megnézzük hogy tudunk-e valami okosat mondani, lefogadom bármibe hogy pont hétig lehet elmenni ha a távolságok egyenlők így a fenti alapján.

Majd csak összehozzuk együtt valahogy :)

Na szóval, az előző nem nyert, de nem olyan nehéz. Tehát vegyünk egy tetszőleges pontot a síkon! Rendezzük a pontok távolságát egy nem csökkenő sorba. Rajzoljuk le a köröket amik ezeket fedik le. Csak akkor van gond ha nyolcnál kevesebb után az egyenlő távolságok rögvest nyolcnál többet fednek le. Ez viszont azt jelenti hogy a problémás pontok egyenlő távolságra fekszenek a kiválasztott ponttól azaz a kiválasztott pont a problémás pontok által alkotott szakasz(ok) felezőmerőlegesén rajta van.

Tehát ha olyan pontot választasz ami a körülbelül kétmillió felezőmerőleges egyenesen kívül van akkor nem lehet gond. Hát csak az a kérdés hogy van-e ilyen pont... ℝ^2 -ben egy egyenes nullmértékű (ugyanis megszámlálhatóan végtelen sok nullmértékű halmaz uniója), véges sok egyenes még mindig nullmértékű ezért ilyen pont nyilvánvalóan akad (másképpen szólva, gyakorlatilag az összes ilyen). Hogy ezt ezt az utolsó lépést kilencedikesnek hogy a fenébe mondom el, azt nem tudom...