Bizonyítsa be, hogy ha "n" olyan pozitív természetes szám, amely nem osztható öttel, akkor n a negyediken - 1 osztható öttel?

(a+b)^4=(a^4)+(4a^3*b)+(6a^2*b^2)+(4a*b^3)+(b^4) azonosság, ebből az első 4 tag biztosan osztahtó 'a'-val. az első négy tagot most tekintsük [...]-nek.

n 5-tel osztva 1 maradék (5k+1)

(5k+1)^4= [...]+1^4 (a [...] tag osztható 5-tel)

ebből 1-et levonva (1-1) pont 5-tel osztható számot kapunk.

n 5-tel osztva21 maradék (5k+2)

(5k+2)^4= [...]+2^4 (a [...] tag osztható 5-tel)

ebből 1-et levonva (16-1) pont 5-tel osztható számot kapunk.

n 5-tel osztva 3 maradék (5k+3)

(5k+3)^4= [...]+3^4 (a [...] tag osztható 5-tel)

ebből 1-et levonva (81-1) pont 5-tel osztható számot kapunk.

n 5-tel osztva 4 maradék (5k+4)

(5k+4)^4= [...]+4^4 (a [...] tag osztható 5-tel)

ebből 1-et levonva (256-1) pont 5-tel osztható számot kapunk.

Ha n nem osztható 5-tel, akkor n-2, n-1, n+1, n+2 valamelyike, vagyis ezek szorzata osztható 5-tel:

(n-2)(n-1)(n+1)(n+2) = (n^2-4)(n^2-1) = n^4 - 5n^2 + 4 = (n^4 - 1) + 5(n^2 + 1)

Ebből már látszik a válasz.