Igazoljuk, hogy gyök alatt S természetes szám, ahol S = gyök alatt 1 + gyök alatt 1+3+5+ gyök alatt 1+3+5+7+9+. + gyök alatt 1+3+5+. +2013?

Ehhez azt érdemes ismerni, hogy az első n db természetes szám összege n^2.

(Ez bizonyítható úgy, hogy fordítva is felírod az 1+3+5+...+(2n-1) összeget és összeadod. Ekkor n tagot kapsz, mindegyik 2n lesz. Ezek összege így n*2n. Vagyis az első n db ptlan szám összege így n^2.)

Na most ez alapján az adott S a következőképpen néz ki:

S=1+3+5+...+1007

(Az 1007-ik ptlan szám ugye a 2013.)

Erre megintcsak igaz a fenti összefüggés, vagyis:

S=504