Matek feladat tg2X = 2tgX ; tgx=tg2x ; tgx/tg2x + tg2x/tgx = 2 ; Hogyan lehet megoldani?

1. tg(2x)=2tgx /átírjuk

sin(2x)/cos(2x)=2*(sinx)/(cosx)

Erre írhatunk kikötést, mivel a nevezőben nem lehet 0, így

cos(2x)≠0, vagyis x≠±π/4+k*π (k tetszőleges egész) és

cos(x)≠0, vagyis x≠±π/2+k*π (k tetszőleges egész)

Tudjuk, hogy sin(2x)=2*(sinx)*(cosx), és cos(2x)=cos^2(x)-sin^2(x):

2*(sinx)*(cosx)/(sin^2(x)-cos^2(x))=2*(sinx)/(cosx) /vonjuk ki a jobb oldalt

2*(sinx)*(cosx)/(sin^2(x)-cos^2(x))-2*(sinx)/(cosx)=0 /emeljünk ki 2*(sinx)-et

2*(sinx)((cosx)/(sin^2(x)-cos^2(x))-1/(cosx)=0

A bal oldalon egy szorzat van, aminek az értéke csak akkor lesz 0, ha legalább az egyik tényezője 0, vagyis vagy

2*sinx=0, vagyis sinx=0, amire x=0+k*π (k tetszőleges egész), vagy

(cosx)/(sin^2(x)-cos^2(x))-1/(cosx)=0 /*cosx; +1

cos^2(x)/(sin^2(x)-cos^2(x))=1

Ismerjük ezt az azonosságot is: sin^2(Ł)+cos^2(Ł)=1, amire sin^2(Ł)=1-cos^2(Ł), ezt írjuk be sin^2(x) helyére:

cos^2(x)/(1-cos^2(x)-cos^2(x))=1

cos^2(x)/(1-2cos^2(x))=1 /*(1-2cos^2(x))

cos^2(x)=1-2cos^2(x) /+2cos^2(x)

2cos^2(x)=1 /:2

cos^2(x)=1/2 /gyökvonás

|cosx|=√(1/2)=√2/2, innen vagy

cosx=√2/2, amire x=±π/4+k*2π (k tetszőleges egész), de ez a kikötés miatt nem lehet, vagy

cosx=-√2/2, amire x=±3π/4+k*2π (k tetszőleges egész), ami megint csak nem lehet a kikötés miatt.

Tehát az egyenlet megoldása: x=0+k*π; ellenőrzés: ha x=0, akkor tg(2*0)=2*tg(0), igaz: 0=0.

tg 2x = 2·tg x

sin 2x / cos 2x = 2·sin x / cos x

2·sinx·cosx / (cos²x-sin²x) = 2·sinx/cosx

cosx / (cos²x-sin²x) = 1/cosx

cos²x/(cos²x-sin²x) = 1

cos²x = cos²x - sin²x

sin²x = 0

sinx = 0

Ez csak 0 meg π esetén teljesül, meg persze a 2π periódus szerint. Egyben is fel lehet írni:

x = k·π, k ∈ ℤ

---

tgx = tg2x

Ezt nem is kell átalakítani. Ez csak akkor igaz, ha x=2x, plusz még a periódus is bejön (ami a tg esetén π):

x + k·π = 2x

k·π = x, k ∈ ℤ

---

tgx/tg2x + tg2x/tgx = 2

Érdemes bevezetni egy változót: z = tgx/tg2x

z + 1/z = 2

z² + 1 = 2z

z² - 2z + 1 = 0

(z-1)¹ = 0

z = 1

vagyis z = tgx/tg2x = 1

tgx = tg2x

Ez meg az előző feladat volt.

Ja, elfelejtettem kikötéseket tenni, pedig az nagyon fontos lehet!

tg x miatt x ≠ π/2 + k·π

tg 2x miatt 2x ≠ π/2 + k·π, vagyis x ≠ π/4 + k·π/2

Szerencsére nem jött ki ilyen megoldás, tehát nem változik az x-ek halmaza.

Ez senkinek nem tűnik fel? tgx=tg2x utolsó képletbe behelyettesítve:

tgX/tgX + tgX/tgX = 2 (vagy tg2X + tg2X = 2)

Innen már azt hiszem nem nehéz...