Hogyan kell megoldani az exponenciális egyenletet?

Ha jól értem, ez a feladat:

4*3^(x+1)-72=3^(x+2)+3^(x+1)

Az egyik hatványozás azonosságot kell alkalmaznunk "visszafelé": azonos alapú hatványok szorzásánál az alapot a kitevők összegére emelhetjük, például 3^5*3^8=3^(5+8)=3^13. Most szét tudjuk bontani a hatványokat: 3^(x+1)=3^x*3^1=3*3^x és 3^(x+2)=3^x*3^2=9*3^x:

4*3*3^x-72=9*3^x+3*3^x

A jobb átláthatóság kedvéért legyen 3^x=z:

4*3*z-72=9*z+3*z /összevonás

12z-72=12z /-12z

-72=0, ami nem egyenlő, tehát az egyenletnek nincs megoldása.

Tanuljunk meg zárójelezni, mindkettőnk élete könnyebb lesz :) Tehát a feladat:

27^x-3^(3x+1)+54=0, amire

3^(3x)-3*3^(3x)+54=0

Itt is át tudunk térni másik ismeretlenre: z=3^(3x):

z-3z+54=0 /összevonás

-2z+54=0 /-54

-2z=-54 /:(-2)

z=27

De itt még nem vagyunk kész, vissza kell írnunk az eredetit z helyére:

3^(3x)=27 /jobb oldal: 27=3^3

3^(3x)=3^3 /az exponenciális függvény szigorú monotonitása miatt

3x=3 /:3

x=1

Ellenőrzéssel kijön.