Hogyan lehet közös alapra helyezne ezt a logaritmusos egyenletet?

Figyeljük meg, hogy a logaritmusok alapja valamilyen 2-hatvány, így érdemes 2-es alapú logaritmusra átírni őket:

Átváltás más alapú logaritmusra: log(a)[b]=log(x)[b]/log(x)[a], ahol x tetszőleges, a kikötést nem sértő szám. A képlet alapján így alakul az egyenlet:

log(2)[2x]/log(2)[32]-log(2)[4x]/log(2)[8]+log(2)[x]=3 /kiszámoljuk, amiket tudunk

log(2)[2x]/5-log(2)[4x]/3+log(2)[x]=3 /*15

3*log(2)[2x]-5*log(2)[4x]+15*log(2)[x]=45 /3. azonosság: log(a)[b^k]=k*log(a)[b]

log(2)[(2x)^3]+log(2)[(4x)^(-5)]+log(2)[x^15]=45 /hatványozás-azonosságok: (a*b)^k=a^k*b^k és a^-k=1/a^k

log(2)[8x^3]+log(2)[1/(1024x^5)]+log(2)[x^15]=45 /1. azonosság: log(a)[b]+log(a)[c]=log(a)[b*c]

log(2)[8x^3*x^15/(1024x^5)]=45 /hatványozás-azonosságok: a^k*a^l=a^(k+l) és a^k/a^l=a^(k-l); 8/1024=2^(-7)

log(2)[2^(-7)*x^13]=45=log(2)[2^45] /a logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt

2^(-7)*x^13=2^45 /*2^7

x^13=2^52 /13. gyököt vonunk

x=2^4=16.

Ellenőrzés:

Bal oldal: log(32)[2*16]-log(8)[4*16]+log(2)[16]=1-2+4=3

jobb oldal: 3, tehát jól dolgoztunk; x=16.

Íme:

[link]