Teljes négyzetté való kiegészítés?

Akkor csináljuk meg 4 nélkül.

X^2+12x+10=

vegyük az első 2 tagit xˇ2+12x-et

ugye (x+6)ˇ2 de ez 36-al több

(x+6)ˇ2-36+10

(x+6)ˇ2-26 ez a vége.

Ha nem négyzetszám áll, akkor ki lehet emelni a főegyütthatót, például:

3x^2+12x+27, kiemeljük a 3-at:

3(x^2+4x+9), és most a zárójeles tagon belül kell teljes négyzetté alakítani; az a célunk, hogy az "x-et bezárjuk a dobozba", vagyis csak a zárójelen belül legyen x. Ha azt írjuk fel, hogy (x+2)^2, akkor ezt kibontva x^2+4x+4-et kapunk, vagyis minden x-et sikerült bezárnunk (ha nem lenne jó, akkor több x lenne kibontás után), de így még kimarad 5, ezt hozzá kell adnunk, így

3((x+2)^2+5) lesz a "becsomagolás" eredménye. Most, ha kedvünk van, beszorozhatunk:

3(x+2)^2+15, bőven elég ilyen alakban megadni, úgy, hogy a zárójelen belül ne sima x álljon, azt nem szokták kérni középiskolában, de ha a tanárod kéri, akkor innen még tovább lehet lépni; írjuk át a 3-at így: 3=√3^2, ekkor

√3^2*(x+2)^2+15, ismerjük azt az azonosságot, hogy a^2*b^2=(a*b)^2, így a külső tagot "becsempészhetjük a dobozba":

(√3(x+2))^2+15, zárójelbontás után:

(√3x+2*√3)^2+15, remélem kielégítő a válaszom :)

3x^2+12x+27: Ez egy ideális eset.

Mi van akkor, ha nem többszöröse az x² együtthatójának a többi?

Íme:

[link]

Akkor az x együtthatója nem lesz egész.

Pl.:

3x^2-5x+7=0

(\sqrt{3}x-\frac{5}{2\sqrt{3}})^2-\frac{61}{12}=0