Egy pozitív egész szám és két szomszédjának négyzetösszege felírható öt egymást követő egész szám összegeként. Hány darab ilyen háromjegyű szám van?

Tehat legyen a a szamunk es (a-1) es (a+1) a ket szomszedja.

(a-1)^2+a^+(a+1)^2=3a^2+2

Az 5 egymas koveto szam az a (b-2), (b-1), b, (b+1), (b+2). Ennek az osszege 5b.

Ez a ketto egyenlo, szoval 5b=3a^2+2. 3a^2+2 5-nek a tobbszorose kell legyen, ebbol kovetkezik, hogy a^2 az 5k+1 alaku kell legyen. Szoval 5b=15k+5, szoval b=3k+1.

Tovabba az elobb lattuk, hogy a^2=5k+1, szoval 5k+1 teljes negyzet kell, hogy legyen. Eszrevehetjuk, hogy ez csak akkor teljesul, ha

I. k=5n^2+2n, ekkor a=5n+1

vagy

II. k=5n^2+8n+3, ekkor a=5n+4

Az I. esetben a=5n+1 es b=15n^2+6n+1

A II. esetben a=5n+4 es b=15n^2+24n+10

Innen mar szerintem menni fog :D

Egy szám és két szomszédja: (n-1)² + n² + (n+1)² = 3n² + 2

Öt egymást követő szám:       k-2 + k-1 + k + k+1 + k+2 = 5k

3n²+2 = 5k, vagyis osztható 5-tel.

3n²+2:

n=0 → 2   = 5·0 + 2

n=1 → 5   = 5·1

n=2 → 14 = 5·2 + 4

n=3 → 29 = 5·5 + 4

n=4 → 50 = 5·10

Innentől ismétlődik minden, mert 3(n+5)²+2 maradéka 5-tel osztva ugyanannyi, mint 3n²+2 maradéka, hiszen:

3(n+5)²+2 = 3n²+2 + 3(2·5 + 5²) = 3n²+2 + 5·21

Vagyis minden 5-ös csoportban 2 olyan szám van, amihez lehet k-t találni (vagyis ahol 3n²+2 osztható 5-tel).

Már csak azt kell kiszámolni, hogy n=100 és n=999 között hány ötös csoport van. Folytassad.

Legyen az 5 egymást követő szám a;a+1;a+2;a+3;a+4, ezek összege 5a+10

Legyen a háromjegyű szám x, ekkor a szomszédjai x-1 és x+1, ezek négyzetösszege (x-1)^2+x^2+(x+1)^2=x^2-2x+1+x+x^2+2x+1=3x^2+2

Innentől az a kérdés, hogy mikor fogja osztani az 5a+10 a 3x^2+2-t.

Első körben 5-tel oszthatónak kell lennie a 3x^2+2-nek, mivel az 5a+10 osztható 5-tel. Mivel a 2 5-tel osztva 2 maradékot ad, ezért a 3x^2-nek 3 maradékot kell adnia 5-tel osztva. Ha a 3-ast lehagyjuk, akkor az x^2-nek már csak 1 maradékot kell adnia 5-tel osztva. Ez abban az esetben lesz így, ha x 1-re vagy 9-re végződik, mert csak az ilyen végződésű számok négyzete fog 1-re végződni.

Egyelőre ennyire jutottam. Ha eszembe jut még valami, megírom.