Hogyan tudom megoldani ezt a geometriai feladatot?

Látod azt a sok derékszögű háromszöget?

[link]

Pitagorasz-tétellel azokból mindent ki tudsz számolni!

Vagy mégsem megy?

A hosszúság kiszámítását a Pitagorasz-tétellel lehet általánosítani, elvileg már tanulnotok kellett. Lényege:

az, hogy az origóból (vagyis a (0;0) pontból) eljuss az (1;0) pontba, ahhoz el kell lépned jobbra 1 egységet. Ezt az elmozdulásvektort egységvektornak nevezzük, és aláhúzott i-vel jelöljük (valahogy itt így tudnám jelölni: _i_). Ha ugyanezt függőlegesen lépjük meg, akkor ugyanúgy egységvektornak nevezzük, és _j_-vel jelöljük.

Azt kell tudnunk, hogy minden vektor felírható ilyen alakban; például a (3;4) helyvektort (helyvektor: az origóból kezdünk el lépni, lásd. fent) felírhatjuk úgy, hogy 3-szor ellépünk jobbra, majd 90°-ot fordulva felfelé lépünk 4-et, ezt a matematikában így jelöljük: 3*_i_+4*_j_. Ezzel az útvonallal és az elmozdulással (tehát ami rögtön a pontba vinne) egy derékszögű háromszöget határoztunk meg, ahol a "kerülőút" két vektora, amik derékszöget zárnak be, lesznek a befogók, így az eredeti vektor hossza kiszámolható a Pitagorasz-tétellel. Az _i_ és _j_ egységvektorok hossza 1, így a 3*_i_ vektor hossza 3*1=3, a 4*_j_ vektor hossza 4*1=4, az ismeretlen hosszt jelöljük c-vel:

c^2=3^2+4^2=9+16=25

c^2=25

c=5, vagyis az elmozdulásvektor hossza 5.

A két pont közti távolság csak annyiban különbözik a vektortól, hogy a vektor mutat valamilyen irányt, persze ettől a hossza nem fog megváltozni.

Kérdés, hogy ez hogyan hasznosítható a Te feladatodnál. Az előző Hozzászóló ábrája segíteni fog nekünk a megoldásban. Nézzük az A és C pontok közti szakaszt. Próbáljunk meg a fent leírt egységvektorokkal eljutni A pontból C pontba; az ábrán jól látszik, hogy 2-t lépünk jobbra, majd kettőt fel, ezt a lépéssort felírhatjuk így a fentiek alapján; 2*_i_+2*_j_, ezek hossza külön-külön 2 és 2 egység, ezek lesznek a derékszögű háromszög befogói, ebből kiszámolható az AC szakasz hossza (amit a jelölésrendszer szerint b-vel kell jelölnünk):

b^2=2^2+2^2=4+4=8

b^2=8

b=√8

Most nézzük a CB szakaszt, és próbáljunk meg eljutni C-ből B-be; ehhez 6-ot kell jobbra lépnünk, majd 2-t le, ezért ez így felírható: 6*_i_-2*_j_ (nem is írtam még le az előjelhasználatot: akkor lesz negatív, ha balra vagy lefelé lépünk, ez utóbbi valósult most meg); a-val jelölve a szakasz hosszát:

a^2=6^2+(-2)^2=36+4=40

a^2=40

a=√40

A harmadik oldal; jussunk el A-ból B-be, ehhez 8-at kell jobbra lépnünk, és 0-át erre merőlegesen, ezért felírható így helyvektorokkal: 8*_i_+0_j_=8*_i_. Mivel az _i_ vektor hossza 1, ezért a szakasz hossza 8*1=8.

Ha jobban megnézed, akkor ezek az egységvektorok kiszámíthatóak abból is, hogy mik a pontok koordinátái:

Az AC-nél A(-3;4), C(-1;6), az egységvektorok: 2*_i_+2*_j_. A szabály úgy szól, hogy ha betűvel írjuk fel a szakaszt vagy vektort, akkor mindig a második betű koordinátáiBÓL vonjuk ki az elsőt, esetünkben a C koordinátáiból az A-ét. Akkor lássuk: az első koordinátákat kivonva -1-(-3)=-1+3=2, ezzel megkaptuk a 2*_i_ egységvektort; 6-4=2, ezzel a 2*_j_ -t kaptuk meg. Ugyanezt a másik két oldallal is el lehet játszani, amikre aztán felírható a Pitagorasz-tétel (még az olyan elfajult esetekben is, amikor a szakasz párhuzamos valamelyik tengellyel, így valamelyik egységvektor 0 lesz (mint fent az előbb), viszont akkor elég csak a fenti megállapítást tenni).

Általánosan: legyen a két végpont A(r;t) és B(u;v), ekkor az irányvektorok felírhatók (u-r)*_i_+(v-t)*_j_ alakban, amennyiben A-ból B-be akarunk eljutni. Ekkor, ha a hosszt d-vel jelöljük (általánosan azzal szokás), akkor felírható rá a Pitagorasz-tétel:

d^2=(u-r)^2+(v-t)^2, ebből gyököt vonva

d=√[(u-r)^2+(v-t)^2] (itt a szögletes zárójel csak egyfajta kiemelése annak, hogy az egészből vonunk gyököt, vagyis a jobb átláthatóság kedvéért használtam (mert egyébként az egészrészt szokta jelölni, de mivel ezt még nem tanultátok, ezért ez téged nem sokban érint)) lesz a szakasz hossza.

Remélem ebből minden érthető, ha mégsem, kérdezz csak! :)