Hogyan oldjuk meg az alabbi matek egyenletet a komplex szamok halmazaban?

Írjuk fel algabrai alakban:

(a+bi)^2 = (a-bi)^2

Végezzük el a hatványozást:

a^2 - b^2 + 2abi = a^2 - b^2 - 2abi

Nullára redukálva:

4abi = 0

Szorzat akkor nulla, ha bármelyik tényező 0.

4 és i, nullától különböző konstansok, tehát vagy a vagy b nulla.

Ha a nulla, akkor b tetszőleges, ha b nulla, akkor a tetszőleges.

Tehát minden x és x*i (x eleme R) alakú komplex szám megoldás.

"Trükkösebben":

z*z = /z*/z

z*z = /(z*z)

Tehát z*z egy olyan komplex szám, aminek a konjugáltja ugyanaz, ez csak akkor lehet, ha z*z egy valós szám. Valós szám gyökének pedig vagy a valós része vagy a komplex része nulla.

(Ezt is vissza lehet vezetni arra, hogy a^2 - b^2 +2abi = valós, akkor 2abi=0, hisz különben komplex lenne, 2abi viszont csak akkor 0, ha a vagy b az).

A második megoldás pont ilyen. A többi csak körítés, kb. oylan szintűm hogy /z*/z = /(z*z) (ennek a belátásához is kell az algebrai alak).

De ha nem használtok algebrai alakot, akkor már ismert tételekre vezetitek vissza, szerintem ilyen a második, ha kihagyod a "bizonyítást".

De amúgy szerintem nem lesz értékesebb a levezetés attól, hogy nem algebrai alakban van.

van még a trigonometrikus alak is:

z=r*e^(i*fi) --> z^2=r^2*e^(i*2fi)

továbbá

zkonj=r*e^(i*-fi) --> zkonj^2=r^2*e^(i*-2fi)

az egyenlet tehát:

r^2*e^(i*2fi) = r^2*e^(i*-2fi)

itt r=0 megoldás;

ha r nem nulla, akkor:

e^(i*2fi) = e^(i*-2fi)

szorozva e^(i*2fi)-vel:

e^(i*4fi) = 1

vagyis 4fi=k*2Pi kell legyen, azaz fi=k*Pi/2

tehát az összes tiszta valós, és az összes tiszta képzetes szám jó megoldás