Egy háromszögben az a és b oldalak hosszára fennáll, hogy a2+b2=400 és a*b=192, míg a harmadik oldallal szemközti szög 78,58o. Számítsuk ki a háromszög ismeretlen oldalait és szögeit. Valaki?

Ha a két oldalra igaz a fenti megállapítás, akkor azoknak egyszerre kell teljesülnie, tehát egyenletrendszeren írjuk fel őket:

a^2+b^2=400 }

a*b=192 }

A második egyenletből b=192/a, ezt írjuk az elsőbe b helyére:

a^2+(192/a)^2=400

a^2+36864/a^2=400 /*a^2

a^4+36864=400a^2 /-400a^2

a^4-400a^2+36864=0

Ez egy másodfokúra visszavezethető egyenlet; legyen a^2=x, ekkor

x^2-400x+36864, megoldóképlettel megoldjuk;

x1=(400+112)/2=256

x2=(400-112)/2=144

Mivel x(1;2) értéke a^2 volt, ezért (a1)^2=256, amiből a1=16, ebből b1=192/16=12cm, és (a2)^2=144, amire a2=12cm, így b2=192/12=16cm (nem véletlen, hogy ugyanazt a megoldáspárt kaptuk).

A harmadik oldalt a koszinusztétellel számolhatjuk; ha az ismeretlen oldal c, akkor

c^2=16^2+12^2-2*16*12*cos(78,58°)

c^2=256+144-76

c^2=324, amire c=18cm.

Ellenőrzésként meg kell néznünk, hogy létezik-e ilyen háromszög; a háromszög-egyenlőtlenségi tétel szerint bármely két oldal összege szigorúan nagyobb (tehát egyenlő nem lehet) a harmadik oldalnál. Ezt most nem írom le, de teljesül.

Az egyik ismeretlen szöget már kiszámolhatjuk egy másik koszinusz-tétellel (ott a szög lesz az ismeretlen, nem az oldal), vagy a szinusztétellel; mivel a legnagyobb oldallal szemközti szög már adott, ezért biztos, hogy annál kisebb értékeket kell kapnunk:

(sinŁ)/(sin(78,58°)=16/18, innen sinŁ=0,8713, számológéppel Ł=60,61° (a másik megoldás 119,39° lenne, de akkor kisebb oldalhoz nagyobb szemközti szög tartozna, az pedig nem lehet).

Tetszőleges háromszög belső szögeinek összege 180°, ezért a harmadik szög 180°-78,58°-60,61°=40,81°-os.

Az is igaz a háromszögre, hogy 18<16<14, akkor 78,58°<60,61°<40,81°, tehát ilyen háromszög létezik.