Hogyan kell kiszámolni eredmény, magyarázat?!

1)

Nem írtad, hogy hányadikos vagy. (a+b)^n kifejtését biztos tanultátok.

2006^2014 = (2000 + 6)^2014 = 2000^2014 + 2014·2000^2013·6 + ... + 2014·2000·6^2013 + 6^2014

Itt minden tagban szerepel 2000 valamilyen hatványa, csak az utolsóban nem. Vagyis az utolsót kivéve mindegyik 0-ra végződik (legalább 3 nullára, de az már mindegy). Ezért 6^2014 határozza meg egyedül az utolsó számjegyet.

6^1 = 6

6^2 = 36

6^3 = ... nem érdemes kiszámolni ... = 36·6 = (30+6)·6 utolsó jegye ugyanaz, mint 6·6 utolsó jegye, ami 6, hisz 30·6 nullára végződik.

Az összes többi hatvány utolsó jegye is pont ugyanígy 6 lesz.

A végén még 1-et hozzáadunk, ezért a megoldás 7.

2)

Itt is hasonlóan 3^2014 utolsó jegyét kell kiszámolni.

3^1 = 3

3^2 = 9

3^3 = 27

3^4 = (20+7)·3 utolsó jegye 7·3=21 miatt 1

3^5 utolsó jegye a háromszorosa lesz 3^4 utolsó jegyének, vagyis 3 lesz

Gondolom már látod, hogy ez így ismétlődik végig: 3,9,7,1,3,9,7,1, stb

A sorozat hossza 4. Mivel 2012 osztható 4-gyel (4 többszöröse), ezért a 2012-edik sorozatelemmel éppen befejeződik a négyes sorozat (szóval 1 az érték), kettővel utána meg a sorozat második eleme, vagyis 9 van.

A válasz persze 9+1, de nem 10, hanem 0