Integrálás: ∫x^2+1/x-1 ( t=x-1-es helyettesítéssel hogy jön ki az eredmény? )

Most vagy rosszul irtad fel a feladatot, vagy nincs szukseg semmi helyetesitesre. Ahogy most nez ki a feladat, akkor mindegyik tagot kulon kulon kell integralni.

Vagy te azt kerdeze, hogy mennyi az integralja a (x^2+1)/(x-1)-nek? Ez esetben:

t=x-1 / ()'

dt=dx

Ez esetben igy fog kinezni a fuggvenyed: ((t+1)^2+1)/t=(t^2+2t+2)/t=t+2+2/t. Itt kulon-kulon leintegralod a tagokat, majd a t helyett visszarakod az (x-1)-et

Ha a helyettesítést gyakorlod, akkor úgy, ahogy #1 írta, de az ilyen törteket meg lehet oldani máshogy is:

Ha a számláló fokszáma nagyobb vagy egyenlő a nevezőjénél, akkor a számlálót fel kell írni, mint a nevező valahányszorosa plusz a maradék:

x²+1 = x·(x-1) + x + 1

    az x+1 még elsőfokú, azt is ki kell fejezni a nevezővel:

x²+1 = x·(x-1) + 1·(x-1) + 2

    most már csak a 2 maradt, OK.

(Ezt lehet polinomosztással is csinálni, de nem muszáj)

Ez lett az egyszerűsítés után:

∫ x + 1 + (2)/(x-1) dx

= x²/2 + x + 2·ln(x-1) + C

Bonyolultabb törtekkel is lehet hasonlót csinálni:

∫ (x³+2x²+1) / (x²-x-2) dx

Most is a számláló harmadfokú:

x³+2x²+1 = x·(x²-x-2) + 3x² + 2x + 1

    még tovább kell csinálni a maradék másodfokút is:

x³+2x²+1 = x·(x²-x-2) + 3(x²-x-2) + 5x + 7

    most már csak elsőfokú maradt, az rendben

Az egyszerűsítés után:

∫ x + 3 + (5x+7) / (x²-x-2) dx

Az x-szel és a 3-mal nincs gond, azokból x²/2 és 3x lesz.

A maradék tört az izgalmasabb.

A nevezőt szorzattá kell alakítani: x²-x-2 = (x-2)(x+1)

(Ezt vagy látja az ember ránézésre, vagy a megoldóképletből x₁=2 és x₂=-1 jön ki, azokból lehet felírni a szorzatot)

Lett tehát egy olyan tört, aminek a nevezője két elsőfokú kifejezés szorzata. Jó lenne felírni két tört összegeként:

(5x+7) / [(x-2)(x+1)] = A/(x-2) + B/(x+1)

Ennek az összegnek a közös nevezője éppen a (x-2)(x+1), az A meg B helyére pedig olyat kel írni, hogy a számláló pont jó legyen.

Ezt hívják parciális törtekre bontásnak. Lehet csinálni gyorsan is (letakargatásos módszer), de inkább az általánosat írom ide:

Közös nevezőre hozás után ez lesz a számláló:

A(x+1) + B(x+2) = (A+B)x + (A+2B)

Ennek kell 5x+7-nek lennie. Vagyis:

A+B = 5

A+2B = 7

---

Az egyenletrendszer megoldása (kivonom a másodikból az elsőt, stb.)

B = 2

A = 3

Vagyis ezt kell integrálni még az x+3 után (amit már megcsináltunk):

∫ 2/(x-2) + 3/(x+1) dx

Az pedig mindkettő sima logaritmusos dolog...

---

Lehet olyan eset is, hogy a nevezőben másodfokú tényező is lesz (pl. (x²+3)(x-1) a nevező szorzattá alakítva). Azt is hasonlóan kell csinálni, de az már bonyolultabb, nem írom le.