2sin (x) -sin^2 (x) >1-cos (x) Hogyan oldjam meg?

Átrendezve:

cos x > 1 - 2sin x + sin²x

cos x > (1 - sin x)²

Ez egyrészt 2π-ben periódikus, tehát elég -π és +π között nézni (aztán 2kπ hozzáadásával kijön a többi is).

Másrészt mivel a jobb oldal pozitív, ezért a cos x csak -π/2 és +π/2 között esélyes rá, hogy esetleg nála nagyobb lehet, amikor a koszinusz pozitív.

-π/2 < x < 0 esetén sin x negatív, ezért 1-sinx nagyobb 1-nél, a négyzete még inkább, ezért ott a cosx nem lehet nála nagyobb. Vagyis csak 0 és π/2 között teljesülhet az egyenlőtlenség.

0-nál és π/2-nél egyenlő a két oldal. A kettő között be kellene látni, hogy cosx a nagyobb.

Nézzük inkább ezt az egyenlőtlenséget:

cos x > 1 - sin x

Ha ez teljesül az adott tartományban, akkor a négyzetesre még inkább teljesül, mert a jobb oldal 1-nél kisebb, ezért ebben a tartományban 1-sinx > (1-sinx)²

Na most átrendezve:

sin x + cos x > 1

Tudjuk, hogy sinx+cosx = √2·sin(x+π/4)

A megoldandó egyenlőtlenség tehát:

sin(x+π/4) > √2/2

A szinusz π/4 és 3π/4 között nagyobb √2/2-nél, vagyis 0 < x < π/2 között teljesül a sinx+cosx>1 egyenlőtlenség. Persze 2π-re periódikusan is teljesül, de most éppen a (0, π/2) intervallum érdekelt minket. Azon meg mindenhol teljesül.

Akkor viszont a fentiek szerint a cosx > (1-sinx)² egyenlőtlenség is teljesül a (0,π/2) intervallumon.

A megoldás tehát:

2kπ < x < π/2 + 2kπ