Egy függvény jellemzésénél mit jelent az, ha egy függvény szigorúan monoton csökennő vagy növekvő? Hogy tudom azt kiszámolni?

Először is ábrázold a függvényt, és látszik róla.

Ha "bal fentről jobbra lefelé" megy a függvény úgy, hogy nincs benne vízszintes(vagyis nincs több olyan egymást követő x érték, amelyekhez ugyanakkora függvényérték tartozik), akkor szigorúan monoton csökken. Ha ugyanígy "bal fentről jobbra lefelé" megy a függvény, de van benne vízszintes, akkor csak monoton csökken.

Ha "bal lentről jobbra felfelé" megy a függvény úgy, hogy nincs vízszintes, akkor szigorúan monoton nő a függvény, ha pedig van benne vízszintes is, akkor csak monoton nő.

Ez így nagyon-nagyon lebutítva van, de az alapok elsajátításához alapvető.

Gondolom azt, hogy növekvő vagy csökkenő, nem kell külön magyaráznom. Definíció szerint az f(x) függvény akkor szigorúan monoton, ha tetszőleges k számra az f(x)=k egyenletnek legfeljebb 1 megoldása van.

Például vegyük az x függvényt. Bármivel egyenlővé teszed, mindig csak 1 darab x lesz, ami igazzá teszi az egyenlőséget.

Ha az |x| függvényt vesszük, ott már nem ez a helyzet, például

|x|=2

Egyenletnek két megoldása van; 2 és -2, tehát ez nem szigorúan monoton.

Szerintem a precíz kimondása sokkal emberiesebb annál, de ember függő gondolom:

szig monoton egy függvény, ha a>b => f(a)>f(b), tehát "nagyobb számhoz nagyobb értéket rendel"

A szigorúságot elveszti, ha egyenlőséget is megengedunk f(a)>=f(b)

Csökkenésről meg akkor beszélünk, ha "nagyobb számhoz kisebbet rendel", tehát a>b => f(a)<f(b)

"Kiszámolni" nem tudod kilencedikesként. Fel kell írnod, hogy f(a)><f(b) és, ha abból kiindulva a>b el tudod dönteni, hogy mi a reláció f(a) és f(b) közt, akkor nyertél.

Pl.:

f(x)=3x

f(a)><f(b)

3a><3b

a><b

de tudjuk, hogy a>b, tehát akor f(a)>f(b) => monoton nő

f(x)=x^2:

f(a)><f(b)

a^2 >< b^2

ha a>b>0, akkor a^2>b^2 (tehát 0-tól nagyobb számokra szig mon nő)

0>a>b, akkor b^2>a^2 (tehát 0-tól kisebb számokra szig mon csökken)

Amúgy pedig a függvény deriváltjával fogod tudni majd kiszámolni későbbi tanulmányaid során.