MATEK, van egy állításunk: Pitagoraszi számhármasok szorzata mindig osztható hatvannal. Ezt kellene bebizonyítani vagy cáfolni példával. Valami ötlet?

A pitagoraszi szamharmasok altalanos keplete:

a = m² - n²

b = 2mn

c = m² + n²

ahol m, n egesz szamok, es m > n.

(erre szamos bizonyitas van a neten, mar a babiloniaiak is ismertek)

Namost azt kell bizonyitani, hogy a szorzatuk oszthato 60-nal, vagyis 3 x 4 x 5 -tel.

3-mal oszthato, mert:

* ha m vagy n oszthato 3-mal, akkor b = 2mn oszthato 3-mal

* ha nem, akkor mind m-nek, mind n-nek a 3-mal valo osztasi maradeka +/-1, tehat a = m² - n² oszthato 3-mal

4-gyel oszthato, mert:

* ha m vagy n paros, akkor b = 2mn oszthato 4-gyel

* ha mindketto paratlan, akkor a = m² - n² oszthato 2-vel es b = 2mn is oszthato 2-vel, tehat a szorzat oszthato 4-gyel

5-tel oszthato, mert:

* ha m vagy n oszthato 5-tel, akkor b = 2mn oszthato 5-tel

* ha nem, akkor mind m-nek, mind n-nek az 5-tel valo osztasi maradeka +/-1 vagy +/-2. Ennelfogva m² es n² 5-tel valo osztasi maradeka +/-1. Tehat vagy a, vagy c oszthato 5-tel

Először is, azt használjuk fel, hogy minden pitagoraszi számhármas egy

a = m^2-n^2,

b = 2*m*n,

c = m^2+n^2

alakú számhármas egész számszorosa, ahol m és n egész számok.

- A számok valamelyike biztosan osztható 3-mal.

Ha m vagy n osztható vele, akkor készen vagyunk, mert akkor 2mn is hárommal osztható.

Ha ugyanannyi m és n hármas maradéka, akkor m^2-n^2 osztható 3-mal, ha pedig különböző, akkor m^2+n^2 osztható 3-mal. Tehát valamelyik a három közül biztosan.

- A számok valamelyike biztosan osztható 4-gyel.

Ha m és n valamelyike páros, akkor 2mn osztható 4-gyel. Ha mindkettő páratlan, akkor mindkettő négyzetének 4-es mardéka 1, mivel (2k+1)^2 4-es maradéka mindig 1. Tehát ekkor m^2-n^2 4-es maradéka 0.

- A számok valamelyike biztosan osztható 5-tel.

Ha m vagy n osztható 5-tel, akkor 2mn osztható 5-tel.

Négyzetszám 5-ös maradéka 1 vagy 4 lehet (ugyanis (5k+-1)^2 maradéka 1, (5k+-2)^2 maradéka 4, más eset pedig nincs). Ha m^2 és n^2 5-ös maradéka ugyanannyi, akkor m^2-n^2 osztható 5-tel; ha pedig különböző, akkor m^2+n^2 5-ös maradéka 1+4=5, vagyis akkor az osztható 5-tel. Más eset nincs.

Tehát 3-mal, 4-gyel és 5-tel osztható is van a számok között; mivel ezek relatív prímek, ezért a számok szorzata 3*4*5=60-al biztosan osztható.