Analízis. Számtani és mértani közép. Hogyan kell megoldani a következő feladatot?

(1+ 1/n)ⁿ < 4

Nézzünk n darab (1+1/n) és 2 darab 1/2 (vagyis n+2 darab szám) mértani és számtani közepét:

mértani ≤ számtani:

ⁿ⁺²√((1+1/n)ⁿ·1/2·1/2) ≤ ( n·(1+1/n)+1/2+1/2 )/(n+2) = (n+2)/(n+2) = 1

n+2-edik hatványra emelve már a kívánt egyenlőtlenség jön ki.

Pontosabban ≤ van < helyett, de tudjuk, hogy egyenlőség csak akkor áll fenn, ha a számok egyformák. Visozn 1+1/n sose lesz egyforma 1/2-del, tehát a < is igaz.