Vektortér? Hogy kell megoldani?

1)

U = { (x₁, x₂, x₃): x₁ + 2x₂ - x₃ = 0}

Ez akkor és csak akkor altér, ha zárt az összeadásra és a skalárral való szorzásra:

Összeadás:

Vegyünk két fenti tulajdonságú vektort:

(a,b,c) és (d,e,f)

Tudjuk tehát, hogy a+2b+c=0 és d+2e+f=0.

Az összeg-vektor (a+d, b+e, c+f)

Erre mit ad az egyenlet? (a+d) + 2(b+e) - (c+f) nulla lesz-e, ez a kérdés.

Átrendezve:

(a+d) + 2(b+e) - (c+f) = a+2b-c + d+2e-f = 0+0, vagyis igaz az egyenlet.

Skalárszorzás:

Vagyünk egy vektort:

(a,b,c)

Tudjuk róla, hogy a+2b+c=0

Ennek a λ szorosa: (λ·a, λ·b, λ·c)

Erre mit ad az egyenlet? λ·a + 2·λ·b - λ·c nulla lesz-e?

λ·a + 2·λ·b - λ·c = λ·(a+2b-c) = λ·0, vagyis igaz.

Tehát altér.

2)

Akkor eleme, ha v felírható, mint az U két vektorának a lineáris kombinációja.

Ez ránézésre látszik, hogy 1·(1,-1,0) + 1·(0,0,1) = (1,-1,1) = v

Vagyis eleme.

Ha nem ilyen ránézésre is igaz kérdés lenne, akkor fel kellene írni az általános lineáris kombináció egyenletét:

(1,-1,1) = a·(1,-1,0) + b·(0,0,1)

Ami ez az egyenletrendszer:

1 = a·1 + b·0

-1 = a·(-1) + b·0

1 = a·0 + b·1

És megoldani a-re meg b-re. Ez most primitív, a=1 és b=1 jön ki kapásból.

3)

Itt is az összes lineáris kombinációt kell felírni:

(x₁, x₂, x₃) = a·(1,1,1) + b·(1,-1,5)

Ami ez az egyenletrendszer:

x₁ = a + b

x₂ = a - b

x₃ = a + 5b

Ezt kell megoldani, hogy kiejtjük az a meg b-t.

Mondjuk össeadjuk az első kettőt:

x₁ + x₂ = 2a

Aztán kivonjuk az első kettőt:

x₁ - x₂ = 2b

Már meg is van a meg b is, azt behelyettesítjük a harmadikba:

x₃ = (x₁+x₂)/2 + 5·(x₁-x₂)/2

2x₃ = x₁+x₂ + 5x₁-5x₂

2x₃ = 6x₁ - 4x₂

x₃ = 3x₁ - 2x₂

>> 1. Döntsük el a V vektortér adott vektorrendszeréről, hogy bázisa-e, generátorrendszere-e V-nek.

>> V=R^3 , (1,-1,2), (1,1,1), (0,1,2), (1,-2,1)

Nem lehet bázis, mert ℝ³-ban a bázisok 3 vektorból állhatnak.

Generátorrendszer lehet, csak nem biztos, hogy a teljes V-t generálja. Meg kell nézni a rangját (vagyis hogy hány független vektorból áll). Ha 3-ból, akkor generátorrendszer.

A rangot mondjuk Gauss eliminációval lehet megnézni, annak nézz utána, hosszú lenne itt leírni.

>> 2. Adjuk meg a v vektor koordinátasorát a megadott bázisban.

>> v=(1,-1,1) bázis: (1,1,1), (1,1,0), (1,0,0)

Vagyis kell az az a,b,c számhármas, amire ez igaz:

(1,-1,1) = a·(1,1,1) + b·(1,1,0) + c·(1,0,0)

Írd fel az egyenletrendszert és oldd meg. Egyébként ránézésre is látszik, hogy a=1, b=-2, c=2 a megoldás.

Tehát abban a bázisban v = (1,-2,2)

>> 3. Határozzuk meg R^4 következő altereinek dimenzióját és egy bázisát!

>> U=[(0,1,2,4), (2,-1,2,2), (1, -1,1,2)

Mivel 3 vektorunk van, legfeljebb 3 lehet az altér dimenziója is. Viszont ha nem függetlenek a vektorok, akkor alacsonyabb lesz a dimenzió.

Megint Gauss kell.

Mondjuk nézd meg ezt a kidolgozott feladatot:

[link]