Hogyan adhatunk meg végtelen sok olyan n egész számot, amelyre az x^2 + 100x + n polinom irreducibilis a racionális számtest felett? És végtelen sokat, amelyre nem irreducibilis?

Gondolj a megoldókepletre. Ha a diszkrimináns pozitív és egy racionális négyzete, akkor a gyök is racionális lesz. Ha negatív, vagy nem egy racionálisnak a négyzete, akkor irreducibilis lesz a racionális számtest fölött. (Ha negatív, akkor a valós számtest fölött is irreducibilis.)

A diszkrimináns 100² - 4n

Mondjuk ha n > 50², akkor negatív lesz, tehát irreducibilis a valós (és így a racionális) számtest felett.

A reducibilis már kicsit nehezebb. Az kell, hogy n ≤ 50² (negatív is!) és 100²-4n mondjuk négyzetszám legyen:

100² - 4n = k²

n = (100² - k²)/4

n = 50² - (k/2)²

Minden k/2 ∈ ℕ számra (magyarul minden páros számra) ez a képlet kiad egy n egész számot, szóval megvan a végtelen sok darab n.