Hogyan határozható meg a p és q paraméterek értéke úgy, hogy az x^3 - px^2 + 11x - q polinom gyökei egymást követő egész számok legyenek?

Legyenek a polinom gyöke b; b+1 és b+2 egészek, ekkor szemmel láthatólag ezek egymást követő egész számok. Ha ezek a gyökei, akkor felírható gyöktényezős alakban: (x-b)(x-(b-1))(x-(b-2))=(x-b)(x-b+1)(x-b+2), ezt kibontjuk:

[link]

Nekünk ez kell:

-2b+3b^2-b^3+2x-6bx+3b^2x+3x^2-3bx^2+x^3

Ezt rendezzük át a fenti formára:

x^3+(3-3b)x^2+(2-6b+3b^2)x-2b+3b^2-b^3

Ennek egyenlőnek kell lennie az eredeti polinommal, vagyis:

x^3-px^2+11x-q=x^3+(3-3b)x^2+(2-6b+3b^2)x-2b+3b^2-b^3

Két polinom akkor egyenlő, ha együtthatóik egyenlők, vagyis:

1=1

-p=3-3b

11=2-6b+3b^2

-q=-2b+3b^2-b^3

Ezt az egyenletrendszer középiskolás módszerekkel már meg tudjuk oldani; a második egyenlet másodfokú, amiből meghatározható b értéke:

0=3b^2-6b-9 /:3

0=b^2-2b-3

0=(b-1)^2-4

4=(b-1)^2, vagyis b=3, vagy b=-1.

Ha b=3, akkor

-p=3-3*3=-3, vagyis p=3

-q=-2*3+3*3^2-3^3=-6+27-27=-6, vagyis q=6.

Ebben az esetben, mivel b=1, és a gyököt eredetileg b-vel jelöltük, ezért a gyökök a 3, a 4 és az 5 lesznek.

Ha b=-1, akkor

-p=3-3*(-1)=3+3=6, vagyis p=-6

-q=-2*(-1)+3*(-1)^2-(-1)^3=2+3+1=6, vagyis q=-6.

Itt a gyökök: -1; 0; 1.

Ha nem számoltam el, akkor ezzel megadtuk azokat a paramétereket, amelyekre a polinomnak egymást követő egész gyökei lesznek. Visszahelyettesítéssel bizonyosodjunk meg róla, hogy számításunk valóban helyes. Ha valami nem tiszta, kérdezz! :)

Nagyon jol mondja a kollega -- egy apro egyszerusites, erdemesebb a kozepso szamot ismeretlennek hasznalni, ugy egyszerubb:(x-(b-1))x(x-(b+1))=-b^3+3*b^2*x-3*b* x^2+b+x^3-x

3b^2-1=11

b^2=4

b=+-2

Tehat nekem -3,-2,-1 es 1,2,3 jon ki gyokokre.

(x-1)(x-2)(x-3)=x^3-6 x^2+11 x-6

(x+1)(x+2)(x+3)=x^3+6 x^2+11 x+6

Tehat p es 6 vagy -6 egyszerre es egyenlok. Nekem ez jott ki es visszahelyettesitve is stimmel...