Megoldásokban segít valaki?

1. Ha két pozitív szám összege 20, akkor legyen az egyik x, a másik 20-x, akkor x+(20-x)=20 teljesül. Ezek köbösszege:

x^3+(20-x)^3=x^2+8000-1200x+60x^2-x^2=

=60x^2-1200x+8000

Ezt deriváljuk a tanultak alapján: 120x-1200

Ahol a derivált 0, ott lehet valamilyen szélsőértéke a függvénynek:

120x-1200=0 /+1200

120x=1200 /:120

x=10, vagyis az egyik szám a 10, a másik szám is 10, ezek összegének köbe 10^3+10^3=2000.

Vegyük a függvény második deriváltját:

(120x-1200)'=120, tehát a függvény tetszőleges pontjában konkáv lesz, és mivel a függvény folytonos, ezért a kapott szélsőérték csak minimum lehet.

Tehát az összegnek minimuma van.

2. A félkörbe írt téglalap csak akkor lehet a legnagyobb, ha két csúcsa az átmérőn, két csúcsa pedig a köríven van.

Rajzoljunk egy vázlatot, és jelöljünk be két pontot az átfogón; hamar rájövünk, hogy ezek a kör középpontjától egyenlő távolságra helyezkednek el. A vázlaton rajzoljunk be egy téglalapot. Legyen az átfogóval párhuzamos oldal hossza x. A téglalap csúcsai az átmérút 3 részre osztják; a téglalap oldalára és két egyenlő részre. Ha a téglalap oldalhossza x, akkor a másik két hossz összesen 2-x hosszúságú (mivel az átmérő 2 egység), tehát 1 rész hossza (2-x)/2 hosszúságú.

Ha az átmérő végpontjait összekötjük a téglalap egyik körívcsúcsával, akkor Thalesz tételének értelmében egy derékszögű háromszöget kapunk, amelynek átfogója a kör átmérője, tehát a téglalap ismeretlen oldalának hossza megegyezik ennek a derékszögű háromszögnek az átfogójához tartozó magasságával, ennek pedig megtanultuk a kiszámítási módját a magasságtétellel; a tételben p=(2-x)/2 és q=x+(2-x)/2=(2+x)/2, tehát a magasság:

m=gyök(((2-x)/2)*(2+x)/2)=gyök(4-x^2)/2, tehát a téglalap területe:

x*gyök(4-x^2)/2=gyök(4x^2-x^4)/2

Hogy megkapjuk a legnagyobb téglalap területét, ezt deriválnunk kell, ehhez viszont kell tudnunk a láncszabályt:

f(g(x))'=f'()*g(x)', esetünkben f()=gyök(), így f()'=gyök()'=1/2*gyök(), g(x)=4x^2-x^4, így g(x)'=4x^2-x^4=8x-4x^3, a /2 pedig átírható *1/2-re, tehát az egy konstans lesz:

'=(1/2)*1/(2*gyök(4-x^2))*(8x-4x^3)=(2x-x^3)/(gyök(4-x^2)), ennek kell 0-nak lennie:

(2x-x^3)/(gyök(4-x^2))=0 /ha x 2-től és -2-től különbözik, akkor szorozhatunk a nevezővel

2x-x^3=0 /kiemelünk x-et

x*(2-x^2)=0

Ennek akkor van megoldása, ha x1=0 vagy 2-x^2=0, amire x1=gyök(2) és x2=-gyök(2), de nekünk csak a pozitív x-ek kellenek.

Ezzel 3 helyet kell megvizsgálnunk a maximumra:

1: x=0, ekkor a téglalap területe 0 egység^2, ennél kisebb nem lehet a területe, ezért ez minimum lesz (elfajult téglalap).

2: x=gyök(2), ekkor a terület gyök(2)*gyök(4-gyök(2)^2)/2=gyök(2)*gyök(2)=2 egység^2

3: x=2, ekkor a terület szintén 0 lesz.

Tehát a legnagyobb területű téglalap 2 egység^2.

A megoldás:

[link]