Matematika- függvényes feladat. Segit valaki?

Valami ilyesmi:

[link]

Jó bonyolultra sikerült...

Próbáljuk meg visszavezetni az eddig tanultakra a feladatot; milyen m>0 értékre lesz az m paraméterű mx^2-mx+2=1 egyenletnek 1 megoldása? (Azért m>0, mert ha kisebb lenne, akkor a főegyüttható negatív lenne, ekkor viszont a függvénynek maximuma lenne (tehát az 1 érték nem a legkisebb, hanem a legnagyobb lesz))

Tehát oldjuk meg ezt az egyenletet: /-1

mx^2-mx+1=0

Ennek az egyenletnek akkor lesz pontosan 1 megoldása, ha a diszkriminánsa 0: a=m, b=-m, c=1:

(-m)^2-4*m*1=0

m^2-4m=0

m*(m-4)=0

A bal oldalon egy szorzat van, amely csak akkor lehet 0, ha legalább 1 tényezője 0, így vagy

m=0, ami nem lehet, vagy

m-4=0, vagyis m=4, tehát m=4 esetén a 4x^2-4x+2 függvényt kapjuk. Most erre be kell látni, hogy az 1 a minimuma a függvénynek. Ezt a következőképpen tudjuk megoldani: írjuk fel az eredeti egyenletet:

4x^2-4x+2=1 /-1

4x^2-4x+1=0

Megoldóképlettel kijön, hogy x1=x2=1/2, vagyis az egyenletnek tényleg csak 1 megoldása van, ráadásul a főegyüttható pozitív, így az 1 tényleg minimuma lesz a függvénynek m=4 esetén.

Legegyszerűbb deriválni.

f'=m(2x-1)=0, tehát x=1/2 helyen lesz a minimum:

f(min)=(m/4)-(m/2)+2=1

Ebből m=4.