Szabályos háromszög alapú egyenes hasáb felszíne 518,2 dm2 magassága 22m v?

És mi a kérdés? A térfogata?

Szabályos háromszög alapú a hasábunk, tehát az alapjául szolgáló háromszögnek minden oldala egyenlő nagyságú. Ez fontos. A felszíne 518,2 dm^2, ami áll a tetején, és az alján 1-1 háromszögből, valamint 3 oldallapból (téglalapok).

A téglalapok magassága 22m, azaz 220 dm, szélessége legyen x. Ám az oldallap szélessége egyben a háromszög oldalhossza is, tehát az is x lesz.

Ezt summázva 528,2 dm^2 = 3*(220*x)+ 2*(T(háromszög))

A háromszög területét kell még kiszámolni, a legegyszerűbb, ha kiszámoljuk a magasságát. Mivel szabályos háromszögről van szó, a magasságvonala pontosan két derékszögre osztja a háromszöget, melynek egyik befogója x/2, másik befogója m, az átfogója meg x.

Pitagorasz tétel alapján a^2+b^2=c^2 (a,b: befogók, c: átfogó), vagyis

m^2+(x/2)^2 = x^2

m^2+(x^2/4) = x^2= 4* x^2/4 |(-(x^2 / 4)

m^2 = 3* x^2/4

m = √3* x/2

ebből kitudjuk számolni a háromszög területét x-el.

ugyebár T=(m*x)/2 -> T= ((√3* x/2) * x) /2

T= (√3 * x^2/2)/2

T= √3 * x^2/4

vagyis a hasáb felszíne:

A = 3*(220*x) + 2*(√3 * x^2/4) = 518,2

660x + √3 * x^2/2 = 518,2

(√3/2)x^2 + 660x -518,2 = 0

Itt másodfokú megoldóképlettel kiszámoljuk x-et (elég csúnya)

x1,2 =( -660 +- √(660^2 - 4* √3/2 * (-518,2)) )/2*√3/2

részletek, részletek, eredmény: x1= 0,7843.. x2= -0,7843..

Mivel oldalhosszról van szó, negatív nem lehet az eredmény, úgyhogy x=0,7843 dm

Innentől jöhet a számolás, A térfogat úgy áll össze, hogy alap * magasság. A magasság 220 dm, azt tudjuk, az alap pedig a háromszög területe lesz, vagyis √3* x^2 /4

Behelyettesítünk, √3 * 0,7843^2 /4 = 0,2664... dm^2

Tehát, alap * magasság : 0,2664 * 220 = 58,608 dm^3

A hasáb felszíne megközelítőleg 58,608 dm^3 (számológéppel utánaszámolva, a kerekítésekből adódó eltérés ~0,003 dm^3, ami elenyészőnek mondható) :)