Egy forgáskúp alakú pohárban, vízszintesen tartva,30 cm magasságig víz van. Beleteszünk egy 3 cm sugarú gömb alakú golyót, ami teljesen alámerül, de a víz még nem folyik ki. A vízszint 2 cm-t emelkedik. Mekkora a kúp nyílásszöge?

Szerintem valamit elszámolt az első válaszoló...

Tulajdonképpen a gömb térfogata egyenlő két kúp térfogatának különbségével.

Legyen

V0 - az kezdeti kúptérfogat

V1 - a megnövekedett kúptérfogat

Vg - a gömb térfogata

h0 = 30 cm - a kezdeti kúp magassága

h1 = h0 + 2 = 32 cm - a megnövelt kúp magassága

α = ? - a kúp fél kúpszöge

Ezek után lássuk a kúpok térfogatát

V0 = r0²π*h0/3

A sugár kifejezhető a magasság és a fél kúpszög segítségével, vagyis

r0 = h0*tgα

Ezt a térfogat képletébe behelyettesítve lesz

V0 = h0³*tg²α*π/3

Ennek mintájára a megnövekedett kúptérfogat

V1 = h1³*tg²α*π/3

A két térfogat különbsége

V1 - V0 = (tg²α*π/3)(h1³ - h0³)

Ez egyenlő a gömb térfogatával, ami

Vg = 4R³π/3

így a következő egyenlet adódik

(tg²α*π/3)(h1³ - h0³) = 4R³π/3

π/3-mal egyszerűsítve marad

tg²α*(h1³ - h0³) = 4R³

Ebből

tg²α = 4R³/(h1³ - h0³)

Az értékek behelyettesítése majd gyökvonás után lesz

tgα ≈ 0,1368...

amiből

α ≈ 7,79°...

A nyílásszög ennek a kétszerese

2α ≈ 15,58°...

==========

Lehet ellenőrizni.! :-)

DeeDee

**********