A deltoid területe 8 cm2. Mekkorák a téglalap oldalai?

Legyen az egyik oldal x, ekkor a másik oldal 2x lesz. Húzzuk be a megadott vonalakat, ekkor a következő alakzatokat kapjuk:

-konkáv deltoid, ennek a területe adott, 8cm^2

-2 egyenlő szárú derékszögű háromszöget; mivel a felezőpontokat kötjük össze a végpontokkal, és a hosszabbik oldal kétszerese a másiknak, ezért a fele ugyanakkora lesz, mint a rövidebbik oldal. Ezeknek a háromszögeknek az összterülete (befogó*befogó/2)*2=(x*x/2)*2=x^2 (a *2 azért, mert 2-en vannak).

-egy egyenlő szárú háromszöget, melynek alapja a téglalap hosszabbik oldala, magassága a rövidebbik oldal fele (az ábrából tökéletesen látszik, hogy miért). Ennek a háromszögnek a területe alap*magasság/2=2x*(x/2)/2=x^2/2

Ezek összege kiadja a téglalap területét: 8+x^2+x^2/2=8+(3/2)*x^2

A téglalap oldala x és 2x voltak, és ezekkel is megadható a terület: x*2x=2x^2

Mivel ugyanarról a téglalapról van szó, ezért ezeknek egyenlőknek kell lenniük:

8+(3/2)x^2=2x^2, vagy másként:

8+1,5*x^2=2x^2 /-1,5*x^2

8=0,5*x^2 /*2

16=x^2 /gyökvonás; x>0

4=x

Tehát az egyik oldal 4cm, a másik 8cm.

Egy kicsivel rövidebb megoldás; a deltoid területképlete átlók szorzata/2=e*f/2. Az egyik átló megegyezik a téglalap hosszabbik oldalával, vagyis 2x lesz, a rövidebbik átló pedig a rövidebbik oldal fele, vagy x/2. Ennek a deltoidnak a területe e*f/2=(2x*(x/2))/2=x^2/2, ennek 8-cal kell egyenlőnek lennie:

8=x^2/2 /*2

16=x^2 /gyökvonás; x>0

4=x, tehát az oldalak: 4cm és 8cm.

Csináltam egy ábrát neked:

[link]

A téglalap szimmetria tengelyeit berajzolva könnyen igazolható, hogy a területek aránya mennyi.