Mi ennek a harmadfokú egyenletnek a megoldása?

Az, amit oda leírtál, lehet, hogy a feladat megoldása, de nem a harmadfokú egyenleté…

Másrészt tényleg nincs más dolgod, csak helyettesíteni. a = 1, b = -6, x = z - b/(3*a) = z + 2.

(z + 2)^3 - 6*(z + 2)^2 + 6*(z + 2) + 10 = 0.

Most jöhetnek az (a + b)^n-re vonatkozó nevezetes azonosságok, összevonás után annak kéne lennie, amit a megoldáshoz írtál.

Na, jól van… Bár félek, ennek nem sok értelme lesz, csak gépelek egy kicsit.

Ugye a harmadfokú egyenlet általános alakja

a*x^3 + b*x^2 + c*x + d = 0,

ahol a ≠ 0.

Na most jó volna nekünk, ha a másodfokú tag eltűnne. Helyettesítsünk így valami z = x + e számot. Ekkor x = z - e.

a*(z - e)^3 + b*(z - e)^2 + … (a többi most egyelőre nem érdekel a négyzetes tagot akarjuk eltüntetni, olyan a maradékban már nincs).

Az összeg köbére és négyzetére vonatkozó azonosságok:

(A + B)^3 = A^3 + 3*A^2*B + 3*A*B^2 + B^3,

(A + B)^2 = A^2 + 2*A*B + B^2.

Ezzel

(z + (-e))^3 = z^3 - 3*z^2*e + 3*z*e^2 - e^3,

(z + (-e))^2 = z^2 - 2*z*e + e^2.

Így

a*(z - e)^3 + b*(z - e)^2 = a*z^3 - 3*a*e*z^2 + b*z^2 + 3*a*e^2*z - 2*b*e*z - a*e^3 + b*e^2 = a*z^3 + (b - 3*a*e)*z^2 + (3*a*e^2 - 2*b*e)*z - a*e^3 + b*e^2.

z^2 együtthatója b - 3*a*e, azt szeretnénk, hogy ez 0 legyen. Minek válasszuk e-t? Nyilván b/(3*a)-nak érdemes.

Így jött ki, hogy miért a fenti behelyettesítést kell csinálni.

Na most. A konkrét példádban x^3 együtthatója 1, azaz a = 1, x^2 együtthatója -6, azaz b = -6, s így tovább, c = 6, d = 10. Ezért e = b/(3*a) = -6/(3*1) = -2, így z = x + (-2) = x - 2, x = z + 2.

Ezt írjuk az x helyére. Azt kapjuk, hogy

(z + 2)^3 - 6*(z + 2)^2 + 6*(z + 2) + 10 = 0,

ahogy azt már korábban leírtam. De most ne nevezetes azonosságokkal bontsuk ki a zárójeleket, mert úgy már egyszer csináltam, meg gondolom a tanárod is csinálta, és nem jött be, hanem definíciókkal és axiómákkal.

Ha veszünk 6 darab dobozt, amikben egy-egy z és egy-egy 2-es van, akkor összesen 6 darab z-t veszünk, és 6 darab 2-est. Így 6*(z + 2) = 6*z + 6*2 = 6*z + 12.

Akkor most ne 6 darab ilyet vegyünk, hanem z + 2 darab ilyet. Akkor (z + 2) darab z-nk meg még (z + 2) darab 2-esünk lesz. De ez olyan, mintha z darab ilyen dobozt vennénk, meg még 2 darabot. Ugye érted a logikámat?

(z + 2)*(z + 2) = (z + 2)*z + (z + 2)*2 = z*(z + 2) + 2*(z + 2) = z*z + z*2 + 2*z + 2*2 = z^2 + 4*z + 4.

Ezzel megvan, hogy mennyi (z + 2)^2. Ebből 6 darabbal tartozunk, tehát „van” nekünk belőle -6 darab:

-6*z^2 - 6*4*z - 6*4 = -6*z^2 - 24*z - 24.

Én most összeszámoltam, hogy hány z^2, z és maradék van a -6*(z + 2)^2-ben és a 6*(z + 2)-ben.

Neked már csak az a dolgod, hogy a (z + 2)^3 = (z + 2)*(z + 2)^2-ben is megszámold őket, és miután az megvan, még meg kell számolnod hogy mennyi van a 4 tagban összesen (ne felejtsük el a 10-est se a végéről). Ha sikerül, akkor megkapod a megoldást, ami a kész verzióban:

z^3 - 6*z + 6 = 0.

Utóirat, mert látom, közben írtál:

(z-6)^3 + (-6*(z-6)^2)) +(6*(z-6)) + 10 = z^3 - 24*z^2 + 186*z - 458.

Akkor most bizonyságául annak, hogy nem hiába írtam két oldalt, tüntesd el a másodfokú tagot a következő harmadfokú egyenletből:

3*x^3 + 14*x^2 - 29*x + 31 = 0.