Mi a megoldása a komplex számok halmazán a következő egyenletnek? |z|^5 + z^5 = (1 + gyök2) +i

Ha megnézed az f(z)= |z|^5 + z^5 -(1 + gyök2) - i (C-->C) függvényt kell elemezni. z=a+i*b feltételezéssel élve egy nem könnyű kétismeretlenes egyenletrendszerhez jutunk, ahol im(f(z))=5·a^4·b - 10·a^2·b^3 + b^5 - 1 és

re(f(z))=

WolframAlpha szerint f(z)=0 egyenlet ekvivalens 2*z^5=1+sqrt(2)+i egyenlettel.

f(z) gyöke a z=-(1+i)/2^(2/5) komplex szám. Viszont a komplex számok között a 5-dik gyök 5 értékű leképezést ad. Innen az 5 db. gyökhöz kell jutnunk. A befejezéshez bizonyítani kellene az említett ekvivalenciát és be kellene látni, hogy 2^(1/5) ötértékű.

[link]

Sz. Gy.

trig. alakba írtam, kiemeltem |z|^5 -t és abból két komplex szám egyenlőségét kaptam. ezeknek valós és képzetes része meg kell egyezzen, azaz:

|z|^5*(1+cos(fi))=1+gyök2

|z|^5*i*sin(fi)=i

Na hát ez nem egyszerű - mondtam magamban -de nicsak! - találtam egy gyököt!

Ez a gyök trig. alakban:

tizedikgyök(2)*(cos45°+isin45°)

Megírtam, hátha előrevisz - pl kiderül, hogy csak ez az egy gyök van vagy hogy ebből kijönne a többi is...

A végét elírtam! Újra:

Ez a gyök trig. alakban:

tizedikgyök(2)*(cos9°+isin9°)

Megírtam, hátha előrevisz - pl kiderül, hogy csak ez az egy gyök van vagy hogy ebből kijönne a többi is...

És van még négy másik gyököm is, el kell forgatni ezt a gyököt 72°-okkal négyszer! Szóval öt gyököt találtam végül.