Egy háromszög külső szögeinek aránya 7 : 7 : 10, területe 64 cm2. Hány centiméter a különbség, ha a háromszög kerületéből kivonjuk a háromszög legrövidebb oldalának hosszát?

A külső szögeinek összege 360°.

Így a külső szögek ekkorák: 105°, 105°, 150°

A belső szögek pedig: 75°, 75°, 30°

Területre van ilyen képlet is:

T = a * b * sin(gamma) / 2

ahol a és b a háromszög két oldala, gamma pedig a köztük lévő szög

Egy egyenlőszárú háromszögről van szó, mert 2 szöge egyenlő.

Írjuk fel ezért először a két szárra és a köztük lévő (30°-os) szögre a területképletet:

T = b * b * sin(30°) / 2 = 64 cm^2 (ezt tudjuk)

b^2 * (1/2) / 2 = 64 cm^2

b^2 = 4 * 64 cm^2 = 256 cm^2

b = 16 cm

Most írjuk fel az alapra, az egyik szárra és a köztük lévő szögre (75°):

T = a * b * sin(75°) / 2 = 64 cm^2

a * 16cm * sin(75°) / 2 = 64 cm^2

a = 8cm / sin(75°) = 8,282 cm (ez a legrövidebb oldal)

Kerület:

K = a + b + b = a + 2*b

A kerület és a legrövidebb oldal különbsége:

K - a = a + 2*b - a = 2 * b = 32 cm

Ez a válasz a feladatra.

"A külső szögeinek összege 360°.

Így a külső szögek ekkorák: 105°, 105°, 150°

A belső szögek pedig: 75°, 75°, 30° "

Ezzel egyetértek, azért mertem bemásolni. :-)

Legyen

a - a háromszög alapja

b - a szára

α - a szárszöge

A szögekből látszik, hogy egy egyenlő szárú háromszögről van szó, amelynek a kerülete

K = a + 2b

Mivel az alap a legrövidebb oldal, a keresett távolság

K - a = 2b

vagyis a szárak összegét kell meghatározni.

A trigonometrikus területképlet szerint

T = b*b*sinα/2

T = b²*sinα/2

Ebből

b² = 2T/sinα

Ha mindkét oldalt megszorozzuk 4-gyel

4b² = 8T/sinα

A bal oldal a keresett távolság négyzete

(2b)² = 8T/sinα

Mivel

α = 30°

sinα =1/2

ezzel

(2b)² = 16T

2b = 4√T

Behelyettesítve

2b = 4*√64 = 4*8

2b = 32

======

Ez egy másik válasz a feladatra! Nem csak egy megoldás létezhet.

DeeDee

**********