Van ennek megoldása?

Egy kicsit talán tudok segíteni (feltételeztem, hogy x, y és z nem lehet egyenlő):

ha van megoldás, akkor valamelyik szám a 2.

Tegyük fel, hogy 2 nincs a keresett számok között. Ekkor x,y, és z is páratlan.

Így x^2 páratlan, y^3 páratlan, ezek összege páros.

z^4 ugyanakkor páratlan, tehát így nem lehet igaz az egyenlet.

Innét:

1. Tegyük fel, hogy z=2 !

Ekkor z^4 = 16. 16-ot 15 féleképpen írhatjuk fel két pozitív egész szám összegeként.

1+15 , 2+14 , 3+13 , 4+12 , 5+11 , 6+10 , 7+11 , 8+8 , 9+7 , 10+6, 11+5 , 12+4 , 13+3, 14+2, 15+1

Az egyedüli köbszámok 15-ig: 1,8 - csakhogy 1 = 1^3, 1 pedig nem prímszám, 8=2^3, de z=2 tehát ezt a prímszámot már elhasználtuk.

Persze az x=2 vagy y=2-t is ki kell zárni.

Ha y=2:

x^2 + 8 = (z^2)^2

Kis számokra ellenőrizhető, nagyobb számokra pedig a szomszédos négyzetszámok között a különbség páratlan, és nő

(n+1)^2-n^2= 2n+1 ill.

2 különbségnél.: (n+2)^2-n^2=4n+4

tehát nem lehetséges

Ha x=2:

4 + y^3 = z^4

A prímek 6k±1 alakúak, y^3 6k±1, z^4 pedig 6k+1 alakú,

tehát a baloldal 6-os maradéka 3 v. 5, a jobboldalé 1,

tehát nem lehetséges

Van másik, bocs, ha hosszabb:

z^4 - x^2 = y^3

Szorzatalak:

(z^2 + x) * (z^2 - x) = y^3

Ha a baloldal kisebbik tényezője 1 lenne, akkor z^2=x+1, ez csak z=2, x=3 esetén igaz prímekre. Ekkor 7 = y^3 ellentmondás.

Tehát a szorzatalak kisebbik tényezője y lesz:

(z^2 + x) * (z^2 - x) = y^2 * y -ból

z^2 + x = y^2 és

z^2 - x = y

Összeadom a két egyenletet, kettővel osztok:

z^2 = y*(y+1)/2

A jobboldal egy prím négyzete de nem lehet z=2.

Akkor a jobboldal páratlan, és y=2 lehet csak, de akkor meg z^2=3 lenne.

Tehát nincs megoldás.

Az utolsó részt részletezem, hátha nem egyértelmű:

z^2=y*(y+1)/2 és y nem lehet 2.

Miért ne lehetne y egy páratlan prím? Azért, mert z^2 tényezői csak 1 és z^2 lehetne, ami lehetetlen, vagy z és z, ami ismét nem lehet.