Konvergensnek számít egy ilyen függvény?

Igen, akkor is konvergens.

A szám környezete egy nyílt intervallum (A-epszilon, A+epszilon) intervallum, ami tartalmazza A-t.

Ha egy függvénynek van helyettesítési értéke pontban, akkor a határérték és a helyettesítési érték megegyezik.

pl lim x-->2 x^2 = 4.

> „egy olyan A szám (a határérték) melynek környezetéből a függvény egy érték után nem lép ki.”

Szerintem az A (határérték, ha létezik) környezete sehol sem szerepel a definícióban. Csak a sorozat/függvényértékek eltérése A-tól, aminek kisebbnek kell lennie egy kicsi számnál, ha a végtelenbe tartunk/az x0 ponthoz közelítünk.

Véges x0 pontban vett függvényhatárértéknél szerepel az x0 PONTOZOTT környezete, a pontozott utal arra, hogy kihagyjuk belőle, mert abból nem akarunk problémát csinálni, hogy az x0 helyen esetleg értelmetlen a függvény.

És így belegondolva, akkor a kicsi távolság is kiváltható a sima környezettel, amiből nem pontozzuk ki a közepét…

Szóval a lényeg, ha egy függvény egy idő után konstans, akkor a végtelenben vett határértéke a konstans érték lesz. Ahogy azt már korábban is írták.

> „Ha egy függvénynek van helyettesítési értéke pontban, akkor a határérték és a helyettesítési érték megegyezik.”

A Dirichlet-függvénynek minden pontban van helyettesítési értéke, de határértéke sehol…

Helyesen egy függvény akkor és csak akkor (ugye definíció szerint) folytonos egy pontban, ha ott a határértéke és a helyettesítési értéke egyezik.

Tehát a fenti állításba is kell, hogy folytonos a függvény.