7-es matekverseny feladat. Igazoljuk, hogy bármely derékszögű háromszögben a derékszög szögfelezője és az átfogóhoz tartozó magasság 45°-kal kisebb szöget zár be, mint a háromszög egyik hegyesszöge!?

Koordinátageometriával nem tűnik nehéznek, viszont gondolom az szokatlan lenne neked, másrészt hetedikben volt egy osztálytársam, aki minden példát koordgemmel csinált, és a többiek nagyon utálták.

Ilyen koordgemes megoldás mehet?

Esetleg ha megmondod, hogy miről volt szó órán, akkor célirányosabban is lehet megoldást keresni.

(((Végül ne haragudj, hogy megkérdezem, de ez ugye nem aktuális, hanem régebbi versenyfeladat?)))

Elkezdtem leírni a koordgemes megoldást, de menet közben elszégyelltem magam, egy keveset gondolkozni is szabad, ugye…

Szóval betűzzünk az ábrán látható módon, és tegyük fel, hogy a háromszögben β ≥ α (ezt az általánosság rovása nélkül megtehetjük).

[link]

Derékszögű háromszögben β + α = 90°.

A C csúcshoz tartozó magasság két, az eredetihez hasonló háromszögre osztja a háromszöget, így a magasságvonal α szöget zár be a BC oldallal, β szöget az AC oldallal.

A derékszög szögfelezője 45°-os szöget zár be az AC oldallal, így a TCS, azaz a magasság és a szögfelező bezárt szöge β – 45°, ami éppen a bizonyítandó állítás.

Esetleg illik még megemlékezni az egyenlő szárú derékszögű háromszögről, amiben β = α, de az már triviális, szerintem.

Én egy dinamikus ábrát szoktam készíteni, hogy jobban lássam az összefüggéseket:

[link]

Az ábrán a C pont mozgatható.