Hogyan kell egy ilyen feladatot megoldani? 11. osztály

x=2y-5

(2y-5)^2+y^2=36

Megoldod a másodfokút, majd az y-ból kifejezed az x-et az elsőfokúban.

Feladat

x² + y² = 36 egyenletű kör és az

x -2y + 5 = 0 egyenletű egyenes kölcsönös helyzetének meghatározása.

Bár már megkaptad a választ a kérdésedre, lenne néhány gondolatom a feladattal kapcsolatban.

Először is: ritkán helytálló az a kérdés, hogy "Hogyan KELL megoldani?"

Ez azt sugallja, hogy csak egyféle megoldási mód létezik, ami a matematikában sok esetben nem helytálló.

Az előző válaszoló által leírt teljesen korrekt módszer általános megoldás, minden helyzetű kör és egyenes esetén használható.

Annyit azért megjegyeznék, hogy mivel nem kérdés az esetleges közös pontok koordinátái, nem kell megoldani az egyenletet, elég a diszkriminánst vizsgálni:

D = √(b² - 4ac)

Ha

D > 0 - két megoldás van, az egyenes metszi a kört

D = 0 - egy megoldás van, az egyenes érinti a kört

D < 0 - nincs valós megoldás, a két görbének nincs közös pontja.

De az adott esetben más utat is lehet választani.

A kör egyenletéből látszik, hogy egy origó középpontú, r = 6 egység sugarú görbéről van szó.

Mivel a két görbe kölcsönös helyzetének vizsgálata a feladat, elég lenne eldönteni, hogy az egyenes milyen távol halad el a kör középpontjától (az origótól).

Ezt elérendő a következőkel lehet tenni:

- Meghatározzuk az egyenes tengelymetszetes alakját, ebből azonnal látszik, mekkora szakaszt vág le az egyenes az x ill. y tengelyből.

Ez a két távolság egy derékszögű háromszög két befogóját adja, az egyenes origótól való távolságát pedig ennek a háromszögnek az átfogóhoz tartozó magassága (d) jelenti.

- A magasság ismeretében már megválaszolható a feladatban feltett kérdés:

ha

d < r - az egyenes metszi a kört (két közös pont)

d = r - az egyenes érinti a kört (egy közös pont)

d > r - az egyenes elkerüli a kört (nincs közös pontjuk)

Csak emlékeztetőül az egyenes tengelymetszetes alakja

x/a + y/b = 1

ahol

a - az x tengelyből

b - az y tengelyből levágott szakasz hossza.

Az egyenesünk egyenlete

x -2y + 5 = 0

Az állandó tagot a másik oldalra áttéve

x -2y = - 5

Mindkét oldalt elosztva (-5)-tel lesz

x/(-5) + y/(2,5) = 1

Ebből látszik, hogy az egyenes az x tengelyt a -5, az y tengelyt a 2,5 pontban metszi.

Tehát van egy derékszögű háromszögünk, melynek befogói a = 5 ill. b = 2,5 egység hosszúak (az előjelnek itt nincs szerepe).

Ennek az átfogóhoz tartozó magasságát az ismert

m = a*b/c

összefüggéssel lehet meghatározni.

De az átfogót sem kell külön kiszámolni, mert egy kis átalakítással a következő összefüggés adódik:

1/m² = 1/a² + 1/b²

Behelyettesítés után az adódik, hogy az egyenes távolsága az origótól

d = √5

vagyis

d < r

ezért az egyenes metszi a kört (két közös pont van).

Ez a feladat megoldása.

Elnézést, ha untattalak volna, de talán találsz benne hasznosítható ötletet. :-)

Ha kérdésed lenne, írj nyugodtan.

DeeDee

**********