Az ABC egyenlőszárú 90°os háromszög BC befogójának felezőpontja F, az AF egyenes D-ben metszi a háromszög köré írt kört. Igazoljuk, hogy AD=3BD megoldás?

Az ábrán, B pont mozgatásával ez igaznak tűnik:

[link]

Lehet bizonyítani!

Nem is olyan komplikált, mint első látszott.

Mindjárt küldök egy megoldást.

DeeDee

A továbbiakban Száldobágyi mester kitünő ábrájának jelöléseit használom.

Az FDB és az FCA hasonló háromszögek, mert két szögük egyenlő.

Ezért az FBD és FAC szögek egyenlők, ez a szög legyen α.

Így

a BAC szög: 45 - α

a DBA szög: 45 + α

Az AB szakasz legyen: c

Felírva a két befogó (AD és BD) arányát (p):

p = AD/BD

p = c*sin(45 + α)/c*sin(45 - α)

c-vel egyszerűsítve

p = sin(45 + α)/sin(45 - α)

Kibontva az összegfüggvényeket

A számláló

sin(45 + α) = sin45*cosα + cos45*sinα

A nevező

sin(45 - α) = sin45*cosα - cos45*sinα

Mivel sin45 = cos45, ezért lehet egyszerűsíteni, ezután marad

A számlálóban

cosα + sinα

a nevezőben

cosα - sinα

cosα-t kiemelve

a számláló

cosα(1 + tgα)

a nevező

cosα(1 - tgα)

cosα-val egyszerűsítve lesz

p = (1 + tgα)/(1 - tgα)

Az FCA háromszögből

tgα = 1/2

ezt behelyettesítve lesz

p = (1 + 1/2)/(1 - 1/2) = (3/2)/(1/2)

vagyis

p = 3

=====

Q.E.D

Remélem, lesz ennél szebb megoldás is. :-)

DeeDee

**********

"Remélem, lesz ennél szebb megoldás is. :-) "

Nézd meg a korábbi linket most űjra! Szebb?

Nem is tudom... Döntetlenben kiegyezünk? :-)

DeeDee

*******

Majd figyeljük a "szavazatokat". Döntsenek az olvasók!

És főleg a kérdező.

Zsiga! Mond neked valamit az a tétel, hogy a súlyvonalak harmadolják egymást? :-)

DeeDee

********

Úgy tűnik, senki sem kapott ihletet az utolsó válaszomtól, ezért már csak leírom, mire jutottam.

Nem hagyott nyugodni a dolog, és egy kis rajzolgatás közben egyszer csak beugrott a pofonegyszerű megoldás...

A fenntebb már használt ábra jelöléseivel:

Ha meghúzzuk az ABC háromszög CO súlyvonalát, akkor az AF súlyvonallal való metszéspontja legyen S.

A CO súlyvonal hossza az átfogó (AB) fele, az OS szakasz pedig ennek a harmada (a súlyvonalak 2:1 arányban osztják egymást).

Vagyis AO/OS = 3

Mivel az AOS és az ADB háromszögek hasonlók, ezért a megfelelő oldalak aránya megegyezik, vagyis

AD/DB = AO/OS = 3

================

DeeDee

***********