Oldjuk meg Z19-ben a 2x+3y=2,3x+2y=1 egyenletrendszert. Hogyan kell?

Kifejezed egyik egyenletből az x-et:

Pl I.egyenletből: X= (2-3y)/2.Ezt behelyettesíted a másik egyenletbe x helyére és megoldod az egyenletet, majd visszahelyettesítesz.

Jaj, nem mán!!!

A feladat

2x + 3y = 2

3x + 2y = 1

Összeadod a két egyenletet

5x + 5y = 3

mindkét oldalt öttel osztva

x + y = 3/5

Az első egyenletből kivonod a másodikat

-x + y = 1

Ezzel van egy új egyenletrendszered

x + y = 3/5

-x + y = 1

Összeadva őket

2y = 8/5

y = 4/5

======

Az első egyenletből

x = 3/5 - 4/5

x = -1/5

=======

Nem jók!!! ugyanis Z19-ben kell megoldani!

Odáig OK, hogy

(1) 5x + 5y ≡ 3 (mod 19)

(2) -x + y ≡ 1 (mod 19)

A másodikat érdemes 5-tel szorozni:

(3) -5x + 5y ≡ 5 (mod 19)

Összeadva (1)-et (3)-mal kijön y-ra ez:

10y ≡ 8 (mod 19)

Lehet osztani 2-vel, mert 19-nek nem osztója a 2

5y ≡ 4 (mod 19)

Ez egy egyszerű lineáris kongruencia. 5 és 19 relatív prímek, ezért legnagyobb közös osztójuk (5, 19) = 1, a megoldhatóság feltétele teljesül és egy maradékosztály lesz a megoldás.

Maga a megoldás "találgatással" jön ki, végülis csak 19 számot kell megnézni. y = 16 lesz, de nem is kell odáig elmenni, mert már az elején látjuk, hogy 5·3 = 15 ≡ -4 (mod 19), a -4 pedig azt is jelenti, hogy x=-3 esetén +4 lesz, vagyis x = -3 megoldás. Ami pedig Z19-ben 16-ot jelent.

Tudjuk (2)-ből, hogy x ≡ y-1, vagyis x=15