Adott egy (y-4) ^2+ (x-3) ^2=25 egyenletű kör, illetve adott A (-3;-1) és B (6;-2) pontok. Mi azoknak a pontoknak a halmaza, amelyek A és B ponttól azonos távolságra vannak és a körön belül helyezkednek el?

Az A és B pontoktól egyenlő távolságra lévő pontok halmaza a szakaszfelező merőleges. Tehát fel kell írni az AB szakasz szakaszfelező merőlegesét.

A szakasz felezőpontja F(1,5;-1,5)

Most felírjuk az AB szakasz irányvektorát: v(9;-1). Mivel ez a vektor merőleges a keresett egyenesre, ezért ez a vektor az egyenes normálvektora lesz.

Ezzel megadtuk a normálvektort, és egy pontot, amelyen áthalad az egyenes. Most felírhatjuk az egyenes egyenletét:

9x-y=9*1,5-(-1,5)=15, tehát

9x-y=15 az egyenes egyenlete.

Most ki kell számolnunk az egyenes és a kör metszéspontjait, ehhez egyenletrendszerbe foglaljuk a két egyenletet:

(y-4)^2+(x-3)^2=25 }

9x-y=15 }

A második egyenletből 9x-15=y, ezt beírjuk az első egyenletbe y helyére:

(9x-15-4)^2+(x-3)^2=25 /összevonás

(9x-19)^2+(x-3)^2=25 /kibontjuk a zárójelet

81x^2-342x+361+x^2-6x+9=25 /összevonunk

82x^2-348x+370=25 /-25

82x^2-348x+345=0

Ennek a megoldása:

x1=(174-gyök(1986))/82

x2=(174-gyök(1986))/82

Értelemszerűen a keresett pontok x-koordinátája ezek közé esik, vagyis

(174-gyök(1986))/82<=x<=(174-gyök(1986))/82

(Ha a "körön belül helyezkedik el" azt jelenti, hogy a köríven is lehet, akkor kell az egyenlőség, ha nem akkor nem).

Az y-koordináta már mondhatjuk úgy, hogy "adott" az egyenes egyenletéből: y=9x-15. Tehát a keresett pontok koordinátái: (x;9x-15), ahol (174-gyök(1986))/82<=x<=(174-gyök(1986))/82.

Ha valamit nem értesz, kérdezz bátran! :)

A rajzon is jobban megértheted, amit az első válaszoló írt:

[link]