Ki tudná megoldani ezt a 3 algebrás-számelméleti feladatot? (12. évfolyamos)

Ez a megoldás világos?

[link]

Ez nem számelmélet... nem baj.

e) 3^(2x+2) - 10·3^x + 1 = 0

Itt 3 hatványok vannak, tehát érdemes lenne tiszta hatványokat csinálni, hogy lehetőleg 3^x legyen mindenhol.

A bal oldal:

3^(2x+2) = 3^(2x)·3^2 = 9·3^(2x)

Amiből a hatvány:

3^(2x) = (3^2)^x de nem ezt érdemes csinálni, hanem a fordítottját:

3^(2x) = (3^x)^2

Most már minden hatvány 3^x, érdemes behozni egy új ismeretlent:

z = 3^x

Ezzel az egyenlet:

9z² - 10z + 1 = 0

Ez sima másodfokú, a megoldóképlettel kijön:

z₁₂ = (10 ± √(100 - 36))/18

z₁ = 1

z₂ = 1/9

Most már x gyorsan megvan:

3^x₁ = 1        → x₁ = 0

3^x₂ = 1/9     → x₂ = -2

A vége tiszta volt? Nem részleteztem...

f) 36·2^x - 8·6^(x-1) = 0

Ezt nem lehet hasonló trükkel megoldani, mert nem csak egyféle alap van. Viszont szerencsére nullával egyenlő az egész, szóval nincs benne a hatványon kívül konstans tag.

36·2^x = 8·6^x·6^(-1)

9·2^x = 2·6^x / 6

27·2^x = 6^x

Mindkét hatván az x-ediken van, ezeket össze lehet vonni majd...

27 = 6^x / 2^x = (6/2)^x

27 = 3^x

az meg x=3, hisz 27=3³

g) (5/3)^(5x-3) = (3/5)^(3x-5)

Ez egyszerűbbnek tűnik, hisz 3/5 épp a reciproka 5/3-nak. A reciprok pedig a -1-edik hatványt jelenti:

a/b = (b/a)^(-1)

a jobb oldal tehát:

(3/5)^(3x-5) = (5/3)^(-1·(3x-5))

Vagyis az egyenlet:

(5/3)^(5x-3) = (5/3)^(5-3x)

Mivel az exponenciális függvény szigorúan monoton, ezért ez azt jelenti, hogy a kitevők egyformák:

5x-3 = 5-3x

...

x = 1