Egy tartály két csövön keresztül 6 óra alatt telik meg. Az egyik csövön át 5 órával hamarabb telik meg, mint a másikon keresztül. Mennyi idő alatt töltené meg külön-külön a két cső a tartályt?

Legyen a "gyorsabbik" cső megtöltési ideje x óra, ekkor a másik x+5 óra alatt töltené meg.

Ha x óra kell a tartály megöltéséhez, akkor 1 óra alatt az 1/x részét tölti tele, az egyenes arányosság elve alapján 2 óra alatt 2/x részét, 3 óra alatt a 3/x részét, és így tovább. Tudjuk, hogy a csövön keresztül a trutyi 6 órán keresztül folyik, vagyis ez a cső a 6/x részét tölti meg a tartálynak.

Ugyanezen elv alapján a másik cső 6/(x+5) részét tölti meg.

Összesen tehát (6/x)+(6/(x+5)) részét töltik meg a tartálynak, és mivel akkor van tele a tartály, ha ezek összege 1, ezért felírhatjuk ezt az egyenletet:

(6/x)+(6/(x+5))=1 /szorzunk x-szel, majd (x+5)-tel

6*(x+5)+6*x=x*(x+5) /kibontjuk a zárójelet

6x+30+6x=x^2+5x /összevonunk

12x+30=x^2+5x

Innentől az egyenletet többféleképpen oldhatjuk meg; első körben tegyük fel, hogy x egész, ekkor így rendezzük az egyenletet: kivonunk 12x-et:

30=x^2-7x /kiemelünk x-et

30=x*(x-7)

A jobb oldalon egy kéttagú szorzat van, melynek minden tagja egész szám. A szorzat értéke csak akkor lehet 30, hogyha a 30-at el tudjuk osztani x-szel, vagyis x osztója a 30-nak. Írjuk fel a 30 szorzatpárjait:

30=

1*30

2*15

3*10

5*6

Ennyi van, mert utána átfordulna. Az a pár lesz jó nekünk, ahol az egyik tagból kivonunk 7-et, akkor megkapjuk a másik tagot. 1 ilyen van: 3*10, vagyis ha x=10, akkor x-7=3. Tehát eszerint 10 óra alatt végezne a gyorsabbik cső egymagában, a másik pedig 15 óra alatt.

Megnézhetjük a másik megoldást is, ehhez viszont a negatív tagok kellenek:

30=

(-1)*(-30)

(-2)*(-15)

(-3)*(-10)

(-5)*(-6)

Ugyanaz kell, mint az előbb, itt viszont x=-3 lesz a jó nekünk, mivel ha x=-3, akkor x-7=-10. Viszont -3 óra alatt nem tölthetik meg a tartályt, ezért ezzel nem kell foglalkoznunk.

A továbbiakban más megoldási módot adok az egyenlet megoldására.

2): 0-ra redukáljuk a bal oldalt:

0=x^2-7x-30 /teljes négyzetté alakítunk

0=(x-3,5)^2-42,25 /hozzáadunk 42,25-öt

42,25=(x-3,5)^2 /gyököt vonunk; mivel x>0, ezért a negatívos ággal nem kell foglalkoznunk

6,5=x-3,5, innen x=10.

Ha a negatívos ággal is foglalkozunk:

-6,5=x-3,5, innen x=-3-at kapjuk, ami az eddigiek miatt nem jó megoldás.

3. lehetőség: másodfokú egyenlet megoldóképletével számolunk (ezt akkor tudod, ha már tanultad):

a=1, b=-7, c=-30, így:

x(1)=(-(-7)+gyök((-7)^2-4*1*(-30))/(2*1)=(7+gyök(49+120))/2

=(7+13)/2=10

x(2) csak annyiban módosul, hogy a 13-at nem hozzáadjuk, hanem kivonjuk:

x(2)=(7-13)/2=-3, ami még mindig nem megoldás.

Ha valami nem érthető, kérdezz bátran!