Harmadfokú függvény zérushelyének kiszámítása? x^3-2x^2-x+2-nek hogy kapom meg a zérushelyeit?

a függvényedet egyenlővé teszed nullával:

x^3-2x^2-x+2=0

(x^2-1)(x-2)+4=x^3-2x^2-x+2

tehát (x^2-1)(x-2)=0 vagy x=2 vagy x^2-1=0 tehát x^2=+-1

Kíváncsi lennék, hogy hogyan lehet gyöktényezők szorzatára felbontani a polinomot úgy, hogy nem is tudjuk a gyököket.

Másik megoldás: van, amikor szerencsénk van, és ránézésre látjuk a gyökö(ke)t. Itt látszik, hogy x=1 gyök lesz, mivel ekkor a polinom értéke 0. Ekkor viszont ebből a polinomból ki tudunk emelni (x-1)-et, ekkor ezt kapjuk:

(x-1)*p(x)=x^3-2x^2-x+2, ahol p(x) egy polinom. Hogy p(x)-et megkapjuk, osztanunk kell (x-1)-gyel:

p(x)=(x^3-2x^2-x+2)/(x-1)

Itt polinomosztani kell. Ha esetleg még nem tanultad volna, hogy hogyan kell két polinomot elosztani egymással, akkor sincs nagy probléma, mivel itt is tudunk "trükközni", hogy el tudjuk osztani.

Első kérdés: mi osztható biztosan (x-1)-gyel? A válasz: (x-1) (pozitív egész kitevőjű) hatványai. Ha nagyon nagy szerencsénk van, akkor most a számlálóban (x-1)^3 van. Nézzük meg, hogy meddig tart ki a szerencsénk; bontsuk ki a zárójelet: (x-1)^3=x^3-3x^2+3x-1. Hát, ez nem jött össze. Viszont nem esünk kétségbe; átalakítjuk a számlálót úgy, hogy ez a polinom benne legyen a számlálóban:

-x^3 mindkettőben benne van, ezzel nincs gond.

-a számlálóban -2x^2 van, a kibontásnál -3x^2-et kaptunk. A számlálót tehát úgy alakítjuk, hogy kivonunk belőle x^2-et, de ezzel természetesen megváltozna a számláló értéke (és mi ezt nagyon nem akarjuk), ezért amit elvettünk, azt hozzá is adjuk.

-a számlálóban -x van, a kibontásnál 3x született. Hogy a számlálóban is meglegyen a 3x, hozzáadunk 4x-et, de persze ezt rögtön ki is vonjuk.

-számláló: 2, kibontás: -1, tehát +3, aztán -3.

Ha eddig elvesztél volna a részletekben, akkor most jön a megvilágosodás. Amit eddig leírtam, beleírjuk a törtünkbe:

(x^3-2x^2-x+2-x^2+x^2+4x-4x+3-3)/(x-1)

Most nem úgy vonunk össze, hogy amik kiesnek, azok kiesnek (mert akkor fölöslegesen bohóckodtunk volna ennyit), hanem úgy, hogy a kibontott polinomot kapjuk meg a számlálóban:

((x^3-3x^2+3x-1)+(x^2-4x+3))/(x-1)

Az első zárójelben az van, amire hajtottunk, a másodikban a pótalkatrészek, amik segítségével megszülethetett az (x-1)^3 kibontott alakja. Ha már ezt tudjuk, akkor át is írhatjuk:

((x-1)^3+(x^2-4x+3))/(x-1)

A törtekre vonatkozók miatt ebből a törtből 2 törtet tudunk kreálni, akárcsak akkor, amikor a törtünk például (5+9)/7, ebből 5/7+9/7-et tudunk csinálni. Ez alapján kapjuk:

(x-1)^3/(x-1)+(x^2-4x+3)/(x-1)

Az első tört értéke nem túl bonyolult: (x-1)^2. A második törtet már egy középiskolás is könnyedén megoldja; kiszámoljuk a gyökeit; x(1)=1, x(2)=3, tehát (x-1)*(x-3)/(x-1)=x-3-at kapjuk. Ezzel a tört értéke: p(x)=(x-1)^2+(x-3)=x^2-2x+1+x-3=x^2-x-2, vagyis ha az eredeti polinomból kiemelünk (x-1)-et, akkor (x-1)*(x^2-x-2)-t kapjuk. Ennek a gyökei egyrészt x=-1, másrészt az x^2-x-2=0 egyenletből kapjuk meg: x(2)=-1 és x(3)=2. Ezzel megkaptuk mindhárom gyököt.

Másik megoldás: alakítsuk át az egyenletet úgy, hogy kivonunk mindkét oldalból kettőt, a bal oldalon pedig kiemelünk x-et:

x*(x^2-2x-1)=-2

Tegyük fel, hogy x értéke egész. Ha egész, akkor a bal oldali szorzat értéke biztosan egész. Viszont egy szorzat értéke csak akkor lehet -2, hogyha a szorzat valamelyik tényezője osztója a -2-nek; mivel x-szel könnyebb számolni, ezért azt mondjuk, hogy ha x gyöke az egyenletnek, akkor x|(-2). -2-nek összesen 4 darab osztója van; -2 ; -1 ; 1; 2. Ezeket végigpróbáljuk, és amelyiknél a polinom értéke 0, az jó lesz nekünk.

Ha olyan szerencsétlenségünk van, hogy csak 1 lehetőség lesz jó (itt persze 3 is jó lesz), akkor viszont azt kell végigzongoráznunk, amit már egyszer felírtam (ekkor a másik két gyök lehet racionális, irracionális vagy komplex szám).

Hát azért itt elég egyértelmű volt...

Azt írod, hogy 1-nél ránézésre látszik, a -1 és 2 miért nem látszik ránézésre?...