Segittek egy erdekes matek feladatban kerlek?

Question

Legyenek a,b valos szamok ugy,hogy a*a+a*b+b*b<=3/4.Igazold,hogy a+b<=1.

Válaszadó #2 · Accepted Answer

Voltak mar ennel egyszerubbnek tuno igazolasok is, amiken evtizedeket szoszmotoltek a matematikusok. Biztosan ez is egy ilyen.

Válaszadó #1 · Answer

Engem is érdekelne a megoldás menete, ugyanis kb 20 percet próbálkoztam vele, de nem jöttem rá hogyan lehet megmutatni. Gyanús, hogy igaz egyébként, de ezt konkrétan megmutatni nem tudom.:S

Válaszadó #3 · Answer

Ez hanyadikos házi feladat? Mert ha matematikus phd, és épp ez hiányzik a nobel-díjadhoz, akkor nem izzadok felette. :D Egy lépés hiányzik amúgy, de arra nem tudok rájönni :(

Válaszadó #4 · Answer

Hat a bal oldal az egy ellipszis a jobb oldal viszont egy egyenes...

Tehat vegyuk az a^2+ab+b^2=3/4 es az a+b=1 gorbeket es nezzuk meg hany metszespontjuk van -- masodfoku es elsofoku gorbenek lehet 0, 1, 2 metszespontja. Ha 2 van akkor az allitas nem igaz, az ellipszisnek van pontja az egyenes mindket oldalan. Ha 0 akkor az ellipszis teljes egeszeben az egyenes egy oldalan fekszik tehat ha egy pontrol megmutatjuk melyik oldalan van ott lesz a tobbi is. Ha csak 1 akkor az ellipszis osszes pontja egy oldalon fekszik illetve pontosan egy az egyenesen. Azt hozza tesszuk hogy az a=0,b=sqrt(3)/2 az egyenes altalunk kivant oldalan fekszik tehat ha 0 vagy 1 metszespontot talalunk akkor keszen is vagyunk.

b=1-a , a^2+a(1-a)+(1-a)^2=a^2+a-a^2+a^2-2a+1=a^2-a+1=3/4 a^2-a+1/4=0 , ennek kettos gyoke az 1/2. Tehat a=1/2, b=1/2, az egyenes erinti az ellipszist, keszen is vagyunk: az ellipszis teljes egeszeben a sik azon feleben van amit az egyenes hatarol, egyetlen pontja esik az egyenesre, az 1/2,1/2.

Mivel az ellipszis a (0,0)-ra lathatoan szimmetrikus azt is konnyen lathatjuk hogy -1<=a+b csak ugy bonuszkent.

Azt is lathatjuk hogy ezeket nem lehet elesiteni mivel van olyan a,b amire az egyenloseg teljesul.

Segittek egy erdekes matek feladatban kerlek?

Kapcsolódó kérdések: