Hogyan számolom ki egy szabályos sokszög beírt, illetve körülírt körének sugarát?

Egy konkrét példa:

[link]

Hasonlóan, bármely sokszöggel meg tudod ezt csinálni.

Felosztod a szabályos n-oldalú sokszöget n darab egyenlő szárú háromszögre úgy, hogy a csúcsokat összekötöd a sokszög szimmetriaközéppontjával.

Az így kapott háromszögek szárai a sokszög köré írt kör sugarai, magasságvonala pedig a beírt kör sugarai.

Egy ilyen háromszög szárszögének nagysága 360°/n. Ha behúzzuk a háromszög magasságát, akkor ez a szög feleződik és a háromszög alapja is. Ekkor a derékszögű háromszögben már tudunk számolni; a 180°/n nagyságú szöggel szemközt (x oldalhossz esetén) x/2 nagyságú befogó van. Ha az átfogót akarjuk kiszámolni (R), akkor a szög szinuszát kell felírnunk:

sin(180°/n)=(x/2)/R, vagyis

sin(180°/n)=x/(2R)

Ezek közül n és x adott, R a kérdés, tehát ezt R-re rendezzük:

R=x/(2*(sin(180°/n))

a szabályos sokszög köréírt sugárhosszának képlete. De ezzel a gondolatmenettel akármikor ki tudod számolni, nem szükséges a képletet tudni.

Ugyanígy levezethető a beírt kör sugara (r) is; ekkor a szög tangense kell:

tg(180°/n)=(x/2)/r, vagyis

tg(180°/n)=x/(2r)

r-re rendezve: r=x/(2*tg(180°/n)) a beírt kör sugarának hossza.