Hatványsor-módszerrel hogy kell megoldani ezt a differenciálegyenletet?

A hatványsor módszerrel az y(x) függvény Taylor sorát (illetve a sor valahány tagját) lehet megkapni.

Most x=0-hoz tartozó kezdeti értékek vannak megadva, tehát 0 körül lehet majd a Taylor sort megkapni.

Maga a Taylor sor ez lenne:

y(x) = Σ y⁽ⁿ⁾(0)/n! · (x-0)ⁿ

A szumma n=0-tól megy a végtelenig.

Fentebb y⁽ⁿ⁾(0) az n-edik derváltat jelenti az x=0 helyen.

Meg van adva y⁽⁰⁾(0) és y⁽¹⁾(0) értéke:

y⁽⁰⁾(0) = y(0) = 0 (vagy 1 lenne ez is? Nem volt tiszta, amit írtál)

y⁽¹⁾(0) = y'(0) = 1

A második derivált behelyettesítéssel adódik:

y⁽²⁾(0) = y''(0) = 0 - y(0)³ = 0 (vagy ha y(0)=1 volt, akkor -1)

Most jön az igazi munka: deriválgatni kell a diff egyenletet (láncszabály!), ezzel megkapjuk a további deriváltak értékét:

y''' = 1 - 3y²·y'                 → y'''(0) = 1 - 3·y(0)²·y'(0) = ... számold ki

Aztán ezt a sort deriváljuk megint: (megint kell figyelni a láncszabályra, illetve szorzat deriválására)

y'''' = -(6y·y')·y' - 3y²·y''   → számold ki ezt is x=0-ban.

stb.

Ha meg van adva, hogy hány tagot kell kiszámolni a Taylor sorból, akkor addig kell deriválni. Ha nincs megadva, akkor rá kellene jönni (és bizonyítani), hogy egy idő után ugyanaz ismétlődik az x=0 helyettesítésekkel...

Amikor pedig megvannak a deriváltak értékei, csak be kell helyettesíteni őket a Taylor sor formulájába, amit először írtam.