Hogyan lehet elhelyezni 4 különböző pontot a síkban, úgy, hogy mindegyik mindegyiktől ugyanakkora távolságra legyen?

Van négy pontod legyenek A, B, C, D. Ugye ezek egyértelműen kijelölnek egy négyszöget a síkon.

Vegyük ezt a négyszöget konvexnek.

Na most ahhoz, hogy a négyszög oldalai egyenlőek legyenek ennek egy rombusznak kell lennie. A rombusz átlói azonban nem egyenlőek(kivéve négyzet), így egy ált. rombusz nem felel meg mivel két két szemközti csúcs közti távolság azaz átló különbözik.

Vegyük a négyzetet. Itt ugye az átlók megegyeznek és az oldalak is, tehát a feladat olyan négyzetet keresni amelynek átlója egyenlő az oldalával. Tudjuk hogy négyzet átlója sqrt(2)*a (gyök2 ször a), innen a = sqrt(2)*a sosem teljesül.

Másik eset az ha konkáv. Itt akkor áll fent, hogy egyenlő táv.ra vannak egymástól ha van egy egyenlő oldalú négyszöged, melynek átlói is egyenlőek. A négyszög legnagyobb szöge legyen a D pontnál lévő, ekkor rajzolhatunk egy ABC szabályos háromszöget. Ekkor az AB átló = AC oldal = BC oldal. Keressük azt a D pontot a háromszögön belül (mivel a négyszög konkáv), aminek a távolsága mind 3 csúcstól egyenlő, ez pedig nem más mint ABC háromszög köré írt körének a középpontja. A köré írt kör sugara (azaz AD = BD = CD = R) R = a/(2*sin(alfa)) ebből R = a akkor és csak akkor ha 2*sin(alfa) = 1, sin(alfa) = 1/2 azaz alfa1 = 30°, alfa2 = 150°. Alfa viszont tudjuk hogy 60° így ennek a feladatnak nincs megoldása.