Matek? Fejtörő feladatok?

Ha mindenki senkit se ismer, akkor már nem igaz.

Tehát mindenki cask magát ismeri, akkor 1 embert ismer mindenki és akkor nincsen olyan ember, akinek párós számú ismeröse lenne.

És ez simán lehetséges az életben is különböző kisérletekkor, ahol előfeltétel, hogy senkit ne ismerj.

Az első hülyeségeket beszél... Ha valaki senkit nem ismer, az matematikailag azt jelenti, hogy 0 embert ismer, a 0 pedig páros szám. Az ilyen feladatoknál pedig megkötés az, hogy ismertség csak két (különböző) ember között jöhet létre, vagyis ha önmagát ismeri valaki, nem számít.

Ennek a megoldása a következő: ha van egy ilyen társaságunk, akkor minden embert szimbolizálhatunk egy-egy ponttal, és ha ismerik egymást, akkor összeköthetjük a két pontot egy vonallal. Ekkor egy gráfot kapunk, tehát érdemes a gráfelméletben tanultak alapján megválaszolni a kérdést.

Tudjuk, hogy ezeket a vonalakat (éleket) meg tudjuk számolni úgy, hogy a csúcsok fokszámait (az a szám, ami jelzi, hogy egy csúcsból hány vonal (él) indul ki) összeadjuk, és az így kapott számot elosztjuk 2-vel. Ez azért van így, mert minden fokszám azt mutatja meg, hogy a csúcsokból hány él indul ki, vagyis ha körbejárjuk a fokszámokat, akkor minden élt megszámolunk, csak a helyzet az, hogy mindegyiket pontosan kétszer (mindkét végpontján), ezért kell osztanunk az összeget 2-vel.

Az állítást indirekt módszerrel igazoljuk; tegyük fel, hogy ez az állítás hamis, így az az állítás lesz igaz, hogy van olyan eset, amikor minden ember páratlan számú másik embert ismer. Ha összeadjuk ezt az 51 darab páratlan számot, akkor az összeg páratlan lesz (remélem ezt nem kell külön ecsetelem), és ugye a fent látottak alapján az összeg fele az élszám. Már pedig, ha páratlan számot osztunk 2-vel, akkor valami,5-et kapunk, már pedig "fél" él nincs. Tehát ez az állítás nem igaz, ebből következően biztosan lesz olyan ember, aki páros sok embert ismer (azt is tudjuk, hogy 1 ember legfeljebb 50 másikat ismerhet).

Vegyünk egy másik megközelítést: vegyünk egy 51 csúcsú üres gráfot, ekkor minden csúcs fokszáma 0, a fokszámok összege 0. Ha behúzunk egy élt, akkor lesz 2 darab 1 fokszámú csúcsunk, vagyis a fokszámok összege 2 lesz. Ha még egy élt behúzunk, akkor már 4 lesz, és így tovább egészen addig, amíg minden lehetséges élt be nem húztunk, ekkor a fokszámösszeg 51*50=2550 lesz. Akárhogy is, a fokszámösszeg mindig páros lesz, mivel ha behúzunk egy élt, akkor a két végpontjának fokszáma 1-1-gyel nő, vagyis a végösszegnél +2 keletkezik.

Innentől gyakorlatilag ugyanaz, mint az előbb; 51 páratlan szám összege páratlan, vagyis nem páros, így mindenképp lesz olyan ember, aki páros sok embert ismer.

#2: a feladat azt kérdezi, hogy MINDEN ESETBEN így van-e. Másik lehetőség az, ha már a te gondolatmenetedet követjük, hogy veszünk 2^51=2.251.799.813.685.248 darab 51 fős csoportot (tehát 114.841.790.497.947.648 darab embert), és megnézzük, hogy köztük minden esetben van-e olyan, akinek van páros sok ismerőse (persze törekedve arra, hogy két csoport ismertségének gráfja különböző legyen).

Szóval ezért kell a matek (és a logikus gondolkodás).

Mivel egy ismert tétel szerint minden minden gráfban páros a fokszámok összege, ezért ha minden fokszám páratlan lenne, akkor 51 páratlan szám összege is az lenne, ami nem lehet.

Ugye azért páros a fokszámok összege, mert minden élnek két végpontja van, s emiatt a fokszámok összege az élek (ismeretségek) számának kétszerese.