Hogyan adjam meg pontosan a háromszög területét?

Akkor a Héron-képletet javaslom.

[link]

Azért, mert nem kell kiszámolni a szögét, elég csak a szög szinusza nekünk.

Ha a 2 egység hosszú oldalra írjuk fel a koszinusz-tételt:

2^2=gyök(2)^2+1^2-2*gyök(2)*1*cos(Ł)

4=2+1-2*gyök(2)*cos(Ł)

-1/(2*gyök(2))=cos(Ł)

Itt, ha kiszámoljuk a szöget (számológéppel), akkor egy irracionális számot kapunk, amelynek a szinusza megint nem pontos lesz. Viszont nekünk van egy összefüggésünk, amit tudunk használni:

(sin(Ł))^2+(cos(Ł))^2=1

Tehát első körben emeljük négyzetre az egyenlet mindkét oldalát:

1/8=(cos(Ł))^2

A fenti összefüggést átalakítjuk: (cos(Ł))^2=1-(sin(Ł))^2, ezt beírjuk (cos(Ł))^2 helyére:

1/8=1-(sin(Ł))^2

-7/8=-(sin(Ł))^2

7/8=(sin(Ł))^2

Itt most gyököt vonunk, de nem kell a "+-"; azért nem kell, mert az Ł szög biztosan II. negyedbeli, mivel biztosan 180°-nál kisebb (elvégre egy háromszög szöge), és koszinusza negatív, így biztos, hogy szinusza pozitív lesz. Tehát:

gyök(7/8)=sin(Ł)

Ezzel már minden adott, hogy felírjuk a háromszög területét:

1*gyök(2)*gyök(7/8)/2=gyök(7/4)/2=gyök(7)/2/2=gyök(7)/4 területegység a háromszög pontos területe.