Matekfeladat, hogy kell megoldani? Légyszi, sürgős!

3. Az x = 0 nem megoldás, oszd el x^2-tel:

x^2 + 1/x^2 + x + 1/x – 4 = 0.

Ha y = x + 1/x, akkor y^2 = x^2 + 1/x^2 + 2, tehát x^2 + 1/x^2 = y^2 – 2, így

y^2 – 2 + y – 4 = 0.

Innét már be kell tudjad fejezni.

2. a és b az ugye a háromszög két oldala szeretne lenni?

Az elsőhöz elő kéne vennem egy papírt és ceruzát…

A racionális gyökök keresésének módszerét ismered?

Az elsőnél kijön vele, hogy x – 5 = 2 vagy x – 5 = –3. Ezután polinomosztással már könnyi belátni, hogy más megoldás nincsen.

A 2. feladathoz.

Érdekes kis példa! :-)

A feladat szerint a háromszög területe

T = (a² + b²)/4

mindkét oldalt szorozva 4-gyel

4T = a² + b²

A trigonometrikus területképlet szerint

T = ab*sinγ/2

mindkét oldalt szorozva 4-gyel

4T = 2ab*sinγ

A kétféle terület egyenlő

2ab*sinγ = a² + b²

ebből

sinγ = (a² + b²)/(2ab)

A szinusz függvény értelmezési tartománya

sinγ ≤ 1

azaz

(a² + b²)/(2ab) ≤ 1

Kettővel szorozva mindkét oldalt

(a² + b²)/(ab) ≤ 2

a bal oldalon tagonként osztva lesz

a/b + b/a ≤ 2

Az ismert összefüggés szerint viszont

a/b + b/a ≥ 2

Az egyenletrendszer

a/b + b/a ≤ 2

a/b + b/a ≥ 2

és ennek megoldása

a = b

====

Ezzel a szögfüggvény értéke

sinγ = (a² + b²)/(2ab)

sinγ = (2a²)/(2a²)

sinγ = 1

így a szög

γ = 90°

=====

Vagyis a feladat megoldása egy derékszögű egyenlő szárú háromszög!

Ennek szögei: 90° - 45° - 45°

Remélem érthető voltam.

DeeDee

**********

Az első feladathoz

A feladat

(x - 5)^4 + (x - 4)^4 = 97

egyenlet megoldása

Ha

x - 5 = a

x - 4 = b

akkor az egyenlet

a^4 + b^4 = 97

Mivel

97 = 2^4 + 3^4

így az egyenlet

a^4 + b^4 = 2^4 + 3^4

Két eset lehet

1. eset

a = 2

b = 3

azaz

x - 5 = 2

x - 4 = 3

és

2. eset

a = 3

b = 2

azaz

x - 5 = 3

x - 4 = 2

Az első esetben a két tagból

x = 7

x = 7

a második esetben

x = 8

x = 6

Tehát az eredeti egyenlet két oldala csak az első esetbeli értékek esetén egyenlő, így a megoldás:

x = 7

====

DeeDee

**********

15:11, és más megoldás miért nincs?

Például az x = 2-t próbáltad?

Meg egy negyedfokú egyenletnek általában 4 megoldása van…

Kiegészítés a 2. feladathoz: a megoldás ellenőrzése.

Mivel a megoldás egy egyenlő szárú derékszögű háromszög azaz egy négyzet fele, a területe

T = a²/2

A feltételként megadott terület

T = (a² + b²)/4

értéke a = b esetén

T = (a² + a²)/4 = 2a²/4

T = a²/2

Tehát a megoldás kielégíti a megadott feltételt.

DeeDee

**********

Az #5-ös válaszolónak:

Teljesen jogos a megjegyzés, valóban hiányos a megoldás.

Ha a kiinduló egyenletet a következő formában írom fel

(±a)^4 + (±b)^4 = 97

akkor négy helyett nyolcféle párosítás lehetséges, így a többi gyök is előjön. :-)

DeeDee

**********