Két konvex sokszög összes átlóinak száma 158, belső szögeinek összege 4320fok. Hány oldalúak a sokszögek?

Legyen a két sokszög x és y oldalszámú, ekkor az x-oldalszámú sokszög átlóinak száma x*(x-3)/2, a másiknak y*(y-3)/2, a feladat szerint ezek összege 158:

(x*(x-3)/2)+(y*(y-3)/2)=158

Az x-oldalszámú sokszög belső szögeinek összege 180°*(x-2), az y-é pedig 180°*(y-2), ezek összege a feladat szerint 4320°, tehát:

180°*(x-2)+180°*(y-2)=4320°

Ennek a két egyenletnek egyszerre kell teljesülnie, tehát egyenletrendszerbe foglaljuk őket:

I. (x*(x-3)/2)+(y*(y-3)/2)=158 }

II. 180°*(x-2)+180°*(y-2)=4320° }

Foglalkozzunk először a második egyenlettel; osszunk 180°-kal:

x-2+y-2=24, ezt y-ra rendezzük: y=28-x, ezt beírjuk az első egyenletben y helyére:

(x*(x-3)/2)+((28-x)*((28-x-3)/2)=158, vagyis

(x*(x-3)/2)+((28-x)*((25-x)/2)=158

Szorzunk 2-vel, majd kibontjuk a zárójeleket:

x^2-3x+700-28x-25x+x^2=316

Összevonás után:

2x^2-56x+700=316

0-ra redukálunk, majd osztunk 2-vel:

x^2-28x+192=0

Másodfokú egyenlet megoldóképletével számolva: x(1)=12, x(2)=16, ekkor y(1)=16, y(2)=12

Tehát a két konvex sokszög 12 és 16 oldalú.

(Az ellenőrzés a te feladatod lesz.)