Egy sorozatnak vagy függvénynek lehet több határértéke?

A definícó alapján csak egy határérték lehet.

Bármelyik változat szerint is.

Van az a változat, amelyik szerint a határérték bármely környezetén kívül csak véges sok elem van.

Márpedig, ha két határérték volna (H1 és H2), ezek egymástól eltérnek valamilyen d-vel.

Mármost vegyük mindkét határérték körül a d/3 sugarú környezetet.

Ekkor pl. H1-nek a d/3 sugarú környezetén kívül véges sok elem van.

Eszerint a H2-nek a d/3 sugarú környezetén belül is véges sok elem van.

Ugyanígy "fordítva" felírva a H1-nek a d/3 sugarú környezetén belül is véges sok elem van.

Továbbá e két környezeten kívül is véges sok elem van.

Ez pedig lehetetlen, mert a sorozatnak végtelen sok eleme van.

Ja, a függvényekről:

A sorozatnak csak a végtelenben lehet határértéke.

(Mármint a sorozat változója, a sorszám vagy index a végtelenhez tart.)

Folytonos függvények esetében a változó több mindenhez is közelíthet.

A függvényeknek a végtelenben is csak egyféle határértéke lehet.

(Megjegyzés: a sorozat is függvény egyébként...)

Igazabol egy sorozatnak lehet tobb hatarerteke is, ha nem Hausdorff terben dolgozunk. De most az ilyen exotikus dolgoktol tekintsunk el, es vegyuk a klasszikus esetet.

Az elottem hozzaszolo nagyon helyesen leirta a dolgokat. De felmerult bennem, hogy te veletlenul nem a fuggvenysorozatokrol akartal kerdezni?

Adok egy peldat, legyen a fuggvenyunk:

f_n(x)=1+x+x^2+...+x^n

Ez a fuggvenyunk fugg az n-tol (azert irtam f_n(x)), tovabba ez egy mertani sorozat, aminek az osszegkeplete

f_n(x)=(1-x^n)/(1-x)

Itt is vizsgalhatunk hatarerteket, es n szerint vizsgaljuk. Ebben az esetben beszelhetunk tobb hatarertekrol, mert a vegso eredmeny fugg az x-tol.

pl. ha x eleme [0,1) intervallumnak, akkor ha n tart a vegtelenben, a sorozatunk hatarerteke 1/(1-x). Ha pedig x>=1, akkor a sorozatunk elmegy a vegtelenbe. Ezt hivjak ugy, hogy pontonkeni konvergencia. Van ennel egy erosebb konvergencia is, az egyenletes konvergencia. Ez akkor all fenn, ha tok mind1, milyen erteket veszel x-nek, a sorozatod mindig ugyan ahhoz a szamhoz fog tartani.

Pl. f_n(x)=sin(x)/n. Itt akarmit rakhatsz x helyett, a szamlalod mindig egy -1 es 1 kozotti szam lesz a nevezod meg elmegy vegtelenbe. Igy a fuggvenysorozatod 0-ba fog tartani, ha az atyauristen fejre all, akkor is.

A példád egy tipikus példa.

De olyan nincs önmagában, hogy mihez tart egy fgv., csak olyan van, hogy milyen x-hez közelítve tart.

Tehát az adott feladat kérdésében meg kell adni, hogy milyen számhoz tart az x.

Az, hogy x tart 5-höz, az nem az eredmény, hanem a feltétel.

Így kellene fogalmazni:

Mihez tart az f(x) fgv, midőn x tart az 5-höz?

A fv. értelmezési tartományának elemei tartanak valahova. Pl. legyen f:R->R: x->f(x), ekkor azt mondjuk hogy az f függvénynek az x0-helyen a határértéke X, midőn x-x0, azaz:

lim f(x)=X

x->x0

Ez nyílván azt jelenti, hogy minnél közelebb megy az x érték az x0-nak, annál közelebb megy f(x) a X-hez. Szokás erre még egy Cauchy-féle definíciót is mondani:

Azt mondjuk hogy az f függvénynek az x0 helyen határértéke a X szám, ha minden p>0-hoz van olyan q>0 szám, hogy ha 0<|x-x0|<q, akkor |X-f(x)|<p.

Nyílván akkor lehet érdekes a határérték pl. ha a fv. nem folytonos, hanem szakadás van benne. A te pl-ban (x^2-25)/(x-5) esetben mivel a számláló (x-5)(x+5) ezért lehet osztani (x-5)-el. Igen ám, de ezzel megszüntettük a szakadást, de az eredetiben ott egy üreskarika volt.

A sorozatokat nem tudom hogy akarod venni, de lényegében a sorozat is egy függvény, csak diszkrét értelmezési tartományon.

Amúgy az egész határértéknek a lényege majd akkor jelenik meg, amikor egy fv. szelőjét finomítjátok és az átmegy érintőbe.

Nyílván az f függvénynek a P1(x,f(x)) és P2(x+h,f(x+h)) pontjain átmenő szelő meredeksége (f(x+h)-f(x))/h.

h->0 esetén ez érintőt jelent és első deriváltnak hívjátok.

TÖbbváltozóba is lehet, meg vektorfüggvényekre is működik, de oda kell már gradiens, divergencia, rotáció...