Mi ennek a függvénynek a határértéke (x2+2x-3) / (x3-x)? Hogy egyértelmű legyen x2="x a négyzeten", x3= "x a köbön. "

a., bontsd fel a függvényt (x^2-1)/(x^3-x) és 2(x-1)/(x^3-x) összegére. Ezeket átírva ( (x^2-1)-et ill. (x-1-et kiemelve a nevezőből) azt kapjuk, hogy [(x^2-1)/(x^2-1)]*(1/x) és [(x-1)/(x-1)]*[2/(x^2+x+1)], ezeken már látszik, hogy ha x tart 1hez, akkor ezek 1hez ill. 2/3hoz tartanak, azaz a függvényed határértéke 1-ben 1+2/3=4/3

b., végtelenben az x^3 gyorsabban növekszik,mint az x^2, ezért 0ba tart. Precízebben elég nagy x-re a számlálót felülről becsülheted 2*x^2-tel, a nevezőt alulról x^3/2-vel, ezért a függvényt felülről becsülheted 4*x^2/x^3-bel, ami 0ba tart. A függvényed elég nagy x esetén pozitív (mind a számláló, mind a nevező), ezért a határértéket alulról és felülről is becsülted 0val, azaz a határérték 0.

c., teljesen hasonlóan

d., a nevező tart 0hoz, a számláló -4hez, tehát a függvény tart végtelenhez (+végtelenhez, ha alulról tartunk -1hez, -végtelenhez, ha felülről)

e., mint az előbb